BZOJ3944: Sum（杜教筛模板）

BZOJ3944: Sum（杜教筛模板）

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题面描述

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题目分析

求(sum_{i=1}^{n}mu(i))和(sum_{i=1}^{n}varphi(i))

数据范围线性不可做。

需要使用杜教筛。

杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和。

借这里先写一些杜教筛内容。。。或许以后会补总结（雾

最开始扔积性函数:

1. (mu(n)),莫比乌斯函数
2. (phi(n))，欧拉函数。
3. (d(n)),约数个数。
4. (sigma(n)),约数和函数。
5. (epsilon(n)),元函数，其值为(epsilon(n)=[n=1])。
6. (id(n))，单位函数，(id(n)=n)。
7. (I(n))，恒等函数，(I(n)=1)。

先放狄利克雷卷积的式子：

假设我们现在有两个数论函数(f,g)，则这两个函数的卷积是((f*g)(n)=sum_{dmid n}f(d)·g(frac{n}{d}))后面的括号表示范围，一般不写的时候可以默认其为(n)。

可以推出狄利克雷卷积满足以下运算律

1. 交换律:((f∗g=g∗f))；
2. 结合律:(((f∗g)∗h=f∗(g∗h)))；
3. 分配律:(((f+g)∗h=f∗h+g∗h))；

可以类比乘法运算律记忆。

那么我们可以开始搞杜教筛了。

现在我们要求一个积性函数(f)的前缀和，也就是(sum_{i=1}^{n}f(i))。

我们尝试构造两个积性函数使(h=f*g)

那么我们求一下(sum_{i=1}^{n}h(i))。

先记(Sum(n))为(sum_{i=1}^{n}f(i))
则：

[sum_{i=1}^{n}h(i)=sum_{i=1}^{n}sum_{dmid i}g(d)f(frac{i}{d}) ]

然后明显可以反过来枚举。

[→sum_{d=1}^{n}g(d)sum_{dmid i}f(frac{i}{d}) ]

改成枚举(frac{i}{d})

[→sum_{d=1}^{n}g(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}f(i)=sum_{d=1}^{n}g(d)S(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

然后把式子的第一项提出来，整个代回去。

[sum_{i=1}^{n}h(i)=g(1)·S(n)+sum_{d=2}^{n}g(d)·S(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

移项

[g(1)·S(n)=sum_{i=1}^{n}h(i)-sum_{d=2}^{n}g(d)·S(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

这样(g(1))明显为(1)，所以这个式子就很明显了，只要(h(i))的前缀和好求那么这个式子就可以在非线性时间里求出来了。

因为(h=f*g)我们换个形式表示上面的式子。

[→g(1)·S(n)=sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-sum_{d=2}^{n}g(d)·S(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

所以只要找到一个合适的(g)就行了。

看个例子，我们这个题要求啥来着，(sum_{i=1}^{n}mu(i))和(sum_{i=1}^{n}varphi(i))

先看第一个。

就不推了，根据上面那个把(f)换成(mu)直接代到最后面。

那么应该怎么给(g)取值呢，我们可以简明扼要的先看一下那一项变成什么了。

[→sum_{i=1}^{n}(mu*g)(i) ]

有一个好消息,我们知道(mu*I=epsilon)。那么可以把上面的式子看成

[sum_{i=1}^{n}(mu*I)(i)=sum_{i=1}^{n}epsilon(i) ]

元函数的前缀和就非常好求，就是(1)，所以我们求的答案

[S(n)=1-sum_{d=2}^{n}g(d)·S(lfloorfrac{n}{d} floor) ]

再看第二个，我们还是相同的直接把(varphi)代到最后面去。

则我们有式子

[sum_{i=1}^{n}(varphi*g)(i) ]

思考一下，我们记得欧拉函数有个有趣的性质(sum_{d|n}varphi(d)=n)

我们把它用卷积的形式表达，就是(varphi*I=id)

带入刚才的式子里面。

[sum_{i=1}^{n}(varphi*g)(i)=sum_{i=1}^{n}id(i) ]

明显的小高斯5岁就会的那个数列求和。。。

这个东西是(n·(n+1)/2)应该都知道。。。

然后代码实现的时候，可以先筛出根号范围内的答案，然后递归处理记忆化搜索。

由于需要储存下标非常大的值，所以需要使用哈希或者偷懒使用unordered_map,不要用map，会多一个log。

下面代码实测BZOJ可过，注意少开long long

是代码呢

#include <bits/stdc++.h>
#include <tr1/unordered_map>
using namespace std;
const int MAXN=4e6+7;
const int M=4e6;
#define ll long long 
bool vis[MAXN];
int mu[MAXN],sum1[MAXN];
ll phi[MAXN],sum2[MAXN];
int cnt,prime[MAXN];
tr1::unordered_map<ll,ll> w1;
tr1::unordered_map<int,short> w;
inline void get(int N)
{
    phi[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            mu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=prime[0];j++){
            if(i*prime[j]>N) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            } else mu[i*prime[j]]=-mu[i],phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) sum1[i]=sum1[i-1]+mu[i],sum2[i]=sum2[i-1]+phi[i];
}
int djsmu(int x)
{
    if(x<=M) return sum1[x];
    if(w[x]) return w[x];
    int ans=1;
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
        if(r==2147483647) break;
        r=x/(x/l);
        ans-=(r-l+1)*djsmu(x/l);
    }
    return w[x]=ans;
}
ll djsphi(int x)
{
    if(x<=M) return sum2[x];
    if(w1[x]) return w1[x];
    ll ans=1ll*x*(1ll*x+1)/2;
    for(int l=2,r;l<=x&&l>=0;l=r+1){
        if(r==2147483647) break;
        r=x/(x/l);
        ans-=1ll*(r-l+1)*djsphi(x/l);
    }
    return w1[x]=ans;
}
inline int read()
{
    int x=0,c=1;
    char ch=' ';
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    while(ch=='-')c*=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*c;
}
int main()
{
    int T=read();
    get(M);
    while(T--){
        int n;
        n=read();
        printf("%lld %d
", djsphi(n),djsmu(n));
    }
}