什么是递归

一、函数递归 recursion
什么是递归：
函数直接或者间接的调用自身

示例：直接调用自身------死递归

def f():
    f()
f()
print("递归完成")
执行结果：
RecursionError: maximum recursion depth exceeded

示例：间接调用自身------死递归

def fa():
    fb()

def fb():
    fa()
fa()
执行结果：
RecursionError: maximum recursion depth exceeded

递归说明：
1。 递归一定要控制递归层数，当符合某一条件时要终止递归

2。几乎所有的递归都能用循环来代替（重复的做一些事，规则相同，可用递归）

3。所有的循环都可以用递归做

4。循环对于整个运算的过程要非常清楚，而递归只要知道第N步和第N-1步直接的关系，实际上是一种数学归纳法的体现

　　a) 循环需要知道a_n 和n的关系，然后循环求解 （这个需要数学归纳法来求解出等式）

　　b) 递归只需要知道a_n  和 a_n-1 的关系就可以

补充：

数学归纳法的基本步骤分两步：

1. 证明当n= 1时命题成立。
2. 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

对于递归的计算的实现的理解

举例：

def fn(n):
    print("现在是第",n,"层递归")
    if n >= 3:
        return
    fn(n+1)
    print("递归的第",n,"层结束")
fn(1)


执行结果：
现在是第 1 层递归
现在是第 2 层递归
现在是第 3 层递归
递归的第 2 层结束
递归的第 1 层结束

用图的方式理解计算机如何实现递归的

以上的递归实现的过程

递归也要区分真递归和假递归 

用n!的求解举例 ：

第一种方法：

a_n =n!=n*(n-1)*(n-2)*......*5*4*3*2*1

由于可以直接找到a_n 和 n的关系

s=1
n=eval(input())
for i in range(n):
    s=s*i
print(s)
>>>3
>>>6

由于前面提到循环都可以用递归解决，可以变成递归如下：

def fac(n,s=1):
    if n==1:
        return s
    return fac(n-1,s*n)
print(fac(3))
>>>6

尚未写的细一点一点， 便于理解

s=1
def fac(n):
    global s
    if n==1:
        return s
    s=s*n
    n=n-1
    return fac(n)

print(fac(3))

然而这是一个假递归，　只是把循环变成了递归而已

第二种

def fac(n):
    if n==1:
        return 1
    return n*fac(n-1)
print(fac(3))
>>>6

这个才是真递归，是通过

a_n = a_n-1 * n 的递归方式求出解

以上是我对　递归的理解