量子计算丨Superdense coding

Superdense coding是一种量子通信的方式。A和B共享一个纠缠态，发送者A通过更改自己的量子比特从而向接收者B传输经典比特的信息如(00,01,10 or 11)，下面简单介绍一下整个过程。

1. 起初有一个双量子比特(|B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(|00>+|11>))，它可以通过作用(CNOT(Hotimes I|00>))获取。

(|B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(|00>+|11>))又称EPR pair
其有一个性质：叠加态中，若第一个量子比特经测量坍塌到(|0>)，第二个量子比特也必然坍塌到(|0>)；反之亦然。

1. 假设有两个人A和B，他们相距很远。我们将该(|B_{00}>)的第一个比特分给A、第二个比特分给B。因此A获得叠加态比特(q_A=frac{1}{2}(|0>+|1>))，B获得叠加态比特(q_B=frac{1}{2}(|0>+|1>))，且(q_A)和(q_B)之间存在纠缠关系（该描述方式可能有误，因为EPR状态无法分解成两个单比特，它们的系数也不会是(frac{1}{2})，这里写出只为帮助理解）。因此(|B_{00}>=frac{1}{2}(|0_A0_B+1_A1_B>))。

2. 现在A想向B传输信息(xy(xy=00,01,10 or 11))，但其只能操作自己的比特(q_A)，他该怎么办?

   A通过量子门改变自己的比特(q_A)使(|B_{00}>)变为(|B_{xy}>)，并发送(q_A)；当B接收到(q_A)后即得到(|B_{xy}>)。

   (xy)	(B_{00})	(q_A)	gate	(q_A)(new)	(B_{xy})
   00	(mid B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>+mid extbf{1}1>))	(frac{1}{2}(mid 0>+mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(I=left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(frac{1}{2}(mid 0>+mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(mid B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>+mid extbf{1}1>))
   01	(mid B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>+mid extbf{1}1>))	(frac{1}{2}(mid 0>+mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(Z=left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & -1 end{matrix} ight])	(frac{1}{2}(mid 0>-mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & -1 end{matrix} ight])	(mid B_{01}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>-mid extbf{1}1>))
   10	(mid B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>+mid extbf{1}1>))	(frac{1}{2}(mid 0>+mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(X=left[egin{matrix} 0 &1 \1&0 end{matrix} ight])	(frac{1}{2}(mid 1>+mid0>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 0 & 1 \1 & 0 end{matrix} ight])	(mid B_{10}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{1}0>+mid extbf{0}1>))
   11	(mid B_{00}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{0}0>+mid extbf{1}1>))	(frac{1}{2}(mid 0>+mid1>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 1 & 0 \0 & 1 end{matrix} ight])	(Zast X=left[egin{matrix} 0 & 1 \-1 & 0 end{matrix} ight])	(frac{1}{2}(mid 1>-mid0>)=frac{1}{2}left[egin{matrix} 0 & -1 \1 & 0 end{matrix} ight])	(mid B_{11}>=frac{1}{sqrt{2}}(mid extbf{1}0>-mid extbf{0}1>))

3. 随后B再进行解码(CNOT(Hotimes I)B_|xy>=|xy>)，从而得到(|xy>)。

上述过程，A只改变了自身的一个量子位比特，就向B传输了两个比特的信息，若A和B之前没有共享纠缠态，这是不能发生的。
此外在安全性上，如果A和B之间有个C，他想窃取信息。但由于没有B的量子位，其无法从A发送的比特中得到任何信息。并且如果他测量A的量子位，B也会同时坍塌，这样B就会知道信息被窃听了。

Reference:https://en.wikipedia.org/wiki/Superdense_coding