hdu 2973"YAPTCHA"(威尔逊定理)

传送门

题意：

　　给出自然数 n，计算出 S_n 的值，其中 [ x ]表示不大于 x 的最大整数。

题解：

　　根据威尔逊定理，如果 p 为素数，那么 (p-1)! ≡ -1(mod p)，即 (p-1)! + 1 = p*q.

　　令 f(K) = 

　　①如果 3K+7 为素数，则 (3K+7-1)! ≡ -1(mod 3K+7)，即 (3K+6)! = (3K+7)*q -1.

　　那么表达式 可化简为 [ (3K+7)*q / (3K+7) - 1 / (3K+7) ] = [ q - 1 / (3K+7)].

　　易得 q-1 < q - 1 / (3K+7) < q ，所以=q-1，那么 f(K) = q-(q-1) = 1.

　　②如果 3K+7 为合数，则 (3K+6)! 能被 (3K+7) 整除，f(K) = 0;

　　由此，本题转化为求解K在[1,n]范围内 (3K+7) 的素数个数。

　　对②的证明：

令p=a*b，(1<a<=b)
①若a!=b，则(p-1)!=1*2*..*a*..*b*..*(p-1)，显然 (a*b) | (p-1)!;
②若a==b且为素数，则当a>2时，a*b=a*a>2*a,
若p>4，则(p-1)! = 1*2*..*a*..*(2a)*..(p-1)，同样有(a*b)|(p-1)!;
综上，如果p为合数，则 p | (p-1)!;

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;

int n;
int ans[maxn];//ans[i]:[1,i]中，满足 3K+7 为素数的整数个数

bool isPrime(int num)
{
    int x=sqrt(num);
    for(int i=2;i <= x;++i)
        if(num%i == 0)
            return 0;
    return 1;
}
void primeTable()
{
    ans[1]=0;
    for(int i=2;i < maxn;++i)//离散计算出所有的结果
        ans[i]=ans[i-1]+isPrime(3*i+7);
}
int main()
{
    int test;
    scanf("%d",&test);
    primeTable();
    while(test--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",ans[n]);
    }
    return 0;
}