•题意
给出两个正整数 a,b；
求解 k ，使得 LCM(a+k,b+k) 最小，如果有多个 k 使得 LCM() 最小，输出最小的k；
•思路
刚开始推了好半天公式，一顿xjb乱操作；
后来，看了一下题解，看到一个引理：
GCD(a,b) = GCD(a,b-a) = GCD(b,b-a);
简单证明假设GCD(a,b) = c; a%c = 0; b%c = 0; 那么(b-a)%c = 0; 这证明了a和(b-a),b和(b-a)有公约数c; 假设GCD(a,b-a)=c' > c; 那么，a%c' = 0; (b-a)%c' = 0; (b-a)%c' = b%c'-a%c'; 所以 b%c' = 0; 那么GCD(a,b) = c' > c，与假设矛盾； GCD(b,b-a)同理； 故命题得证；有了这个引理后，解题思路变得异常清晰；
首先，令 b > a；
将 LCM(a+k,b+k) 转化一下：
情况①，如果 a 与 b-a 不互素，那么 a+1 与 b-a 一定互素；
情况②，a+k = x·(b-a)，其中 x·(b-a) 是大于等于 a 的最小的 (b-a) 的倍数；
情况③，枚举 b-a 的约数；
•Code
View Code1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 using namespace std; 5 #define ll long long 6 7 ll a,b; 8 9 ll GCD(ll a,ll b) 10 { 11 return a == 0 ? b:GCD(b%a,a); 12 } 13 ll LCM(ll a,ll b) 14 { 15 return a/GCD(a,b)*b; 16 } 17 ll F(ll k) 18 { 19 return (a+k)*(b+k)/GCD(a+k,b+k); 20 } 21 bool isSat(int i,ll k)//判断k是否可以更新为i-a 22 { 23 ll curK=i-a; 24 if(curK < 0 || F(curK) != LCM(a+curK,b+curK)) 25 return false; 26 if(F(curK) < F(k) || F(curK) == F(k) && curK < k) 27 return true; 28 return false; 29 } 30 ll Solve() 31 { 32 if(a > b) 33 swap(a,b); 34 int d=b-a; 35 if(d == 0) 36 return 0; 37 38 ll k=1; 39 for(;GCD(d,a+k) != 1;k++);///情况① 40 for(int i=1;i*i <= d;++i)///情况③ 41 { 42 if(d%i != 0) 43 continue; 44 if(isSat(i,k))///a+k=i 45 k=i-a; 46 if(isSat(d/i,k))///a+k=d/i 47 k=d/i-a; 48 } 49 ///情况②，GCD()为定值，k越小LCM()就越小 50 ll x=(a/d+(a%d == 0 ? 0:1))*d;///a+k=k*d(k*d:>=a的最小的d的倍数) 51 if(isSat(x,k)) 52 k=x-a; 53 54 return k; 55 } 56 int main() 57 { 58 scanf("%lld%lld",&a,&b); 59 printf("%lld ",Solve()); 60 61 return 0; 62 }
分割线：2019.7.23
•新想法
GCD(b-a , a+k) = f(b-a);
f(b-a) 表示 b-a 的约数；
当 GCD(b-a,a+k) 确定后，k 越小则 LCM(a+k,b+k) 就越小；
假设 GCD(b-a,a+k) = f;
①如果 a 本身就为 f 的倍数，且 GCD(b-a,a) = f;
那么 k = 0 是满足当前条件下，使得 LCM(a+k,b+k) 最小的最优解；
②反之，如果 a 不为 f 的倍数，那么，找到 ≥ a 的最小的 x·f，并判断 GCD(b-a,x·f) ?= f；
1)如果 GCD(b-a,x·f) = f;
那么 k = x·f-a 是满足当前条件下，使得 LCM(a+k,b+k) 最小的最优解；
2)如果 GCD(b-a,x·f) ≠ f;
那么 GCD(b-a,(x+1)·f)一定等于 f；
GCD(b-a,x·f) = GCD(y·f,x·f) = f·GCD(x,y);
判断 GCD(b-a,x·f) ?= f ⇔ 判断 GCD(y,x) ?= 1;
如果 GCD(y,x) ≠ 1，那么一定有 GCD(y,x+1) = 1;
•Code
View Code1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define GCD(a,b) __gcd(a,b) 4 #define ll long long 5 6 ll a,b; 7 8 ll g(ll k) 9 { 10 return (a+k)/GCD(a+k,b+k)*(b+k); 11 } 12 void update(ll f,ll &k) 13 { 14 ll x=a/f+(a%f != 0);///找到使得x·f ≥ a的最小的x 15 ll y=(b-a)/f; 16 17 if(GCD(x,y) != 1) 18 x++; 19 20 ///判断是否更新k 21 ll cur=x*f-a; 22 if(k == -1 || g(k) > g(cur)) 23 k=cur; 24 else if(g(k) == g(cur)) 25 k=min(k,cur); 26 } 27 ll Solve() 28 { 29 if(a == b) 30 return 0; 31 if(b < a) 32 swap(a,b); 33 34 ll k=-1; 35 36 for(ll i=1;i*i <= b-a;++i) 37 { 38 if((b-a)%i != 0) 39 continue; 40 41 update(i,k); 42 update((b-a)/i,k); 43 } 44 45 return k; 46 } 47 int main() 48 { 49 scanf("%lld%lld",&a,&b); 50 printf("%lld ",Solve()); 51 52 return 0; 53 }