向量点积定义的证明

设两个向量$mathbf{a} = overrightarrow{OA} = (x_1, y_1), mathbf{b} = overrightarrow{OB} = (x_2, y_2)$，两向量夹角为$ heta$，向量点积的定义如下：

$$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}|cdot|mathbf{b}| cos{ heta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

第一部分可以通过解析几何理解，即一个向量向另一个向量做投影。然而第二部分的定义有什么意义？关键问题是，为什么$ |mathbf{a}|cdot|mathbf{b}| cos{ heta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$？下面就对这个问题进行证明。

egin{align} ecause overrightarrow{OA} &= overrightarrow{OB} + overrightarrow{BA} \  herefore overrightarrow{BA} &= overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) end{align}

在$ riangle{OAB}$中，根据余弦定理：$| overrightarrow{BA} |^2 = |overrightarrow{OA}|^2 + |overrightarrow{OB}|^2 - 2 |overrightarrow{OA}| |overrightarrow{OB}| cos{ heta}$，并且$|overrightarrow{BA}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$，$|overrightarrow{OA}|^2 = x_1^2 + y_1^2$，$|overrightarrow{OB}|^2 = x_2^2 + y_2^2$，所以$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = ( x_1^2 + y_1^2) + ( x_2^2 + y_2^2) - 2 |overrightarrow{OA}| |overrightarrow{OB}| cos{ heta}$，因此便有：

$$|overrightarrow{OA}| |overrightarrow{OB}| cos{ heta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

即：

$$|mathbf{a}|cdot|mathbf{b}| cos{ heta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

参考内容：http://mail.smhs.kh.edu.tw/~tch044/vector/sub-2.htm

顺便提一下：在MathJax中要想显示粗体的希腊字母，如$oldsymbol{alpha}$，应该用oldsymbol{}这个宏，其他的像mathbf，f，m等等均无法做到，原因应该是MathJax只使用了AMSmath的宏包。