假面舞会「DFS图论」

假面舞会「DFS图论」

题目描述

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。

今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一 个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为k (k≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第i 类面具的人才能看到戴第i+1 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。 参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。 栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信 息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了k≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

输入格式

第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，n 表示主办方总共准备了多少个面具，m 表示栋栋收集了多少条信息。

接下来m 行，每行为两个用空格分开的整数a, b，表示戴第a 号面具的人看到了第b 号面具的编号。相同的数对a,b 在输入文件中可能出现多次。

输出格式

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。

如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

样例

样例输1

6 5 1 2 2 3 3 4 4 1 3 5

样例输出1

4 4

样例输入2

3 3 1 2 2 1 2 3

样例输出2

-1 -1

数据范围与提示

50%的数据，满足n ≤ 300, m ≤ 1000；

100%的数据，满足n ≤ 100000, m ≤ 1000000。

思路分析

• 首先不难发现，这道题的关键在于是否能形成环，很容易联想到并查集和tarjan等对环形进行处理的操作，然而这道题和这些算法并没有什么关系......
• 直接模拟过程，判断是否存在环的操作很简单，关键在于求出环长
• 在环的个数和环的长度都求出来以后，我们就可以进行判断

1. 有环的情况：
   • 最大值：所有环长的最大公约数（有可能有多个环，要保证每个环都成立）。因为只有当环长是种类数的倍数时，才可以保证环内顺序一定而不冲突
   • 最小值：最大值的不小于3的最小约数。
2. 无环有链的情况：
   • 最大值：所有链的长度之和
   • 最小值：3

细节较多，详见代码

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10,maxm = 1e6+10;
int vis[maxn],flag[maxn],d[maxn],head[maxn]; /d为到起点的距离
int n,m,ans,mx,mn;
int gcd(int a,int b){
	return (b == 0 ? a : gcd(b,a%b));
}
struct edge{
	int next,to,w;
}e[maxm<<1];
int cnt = 1; //注意因为正向边和反向边相关联，所以初始值为1，从2,3开始存边
void addedge(int u,int v,int val){
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].w = val;
	e[cnt].next = head[u];
	head[u] = cnt;
}
void DFS(int u){ //该DFS用于求环
	vis[u] = 1;
	for(int i = head[u];~i;i = e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(!vis[v]){ //若该点为到达过
			d[v] = d[u]+e[i].w; //更新v到起点的距离
			DFS(v);
		}
		else{ //若该点到达过，说明存在环
			ans = gcd(ans,abs(d[u]+e[i].w-d[v])); //最大公约数求最大种类数。（因为反向边权值为-1，所以不需要特判回到父亲节点的情况）
		}
	}
}
void dfs(int u){//无环时用该dfs跑链
	//更新链中最大最小值
	mx = max(mx,d[u]);
	mn = min(mn,d[u]);
	vis[u] = 1;
	for(int i = head[u];~i;i = e[i].next){
		if(!flag[i]){ //该边为走过
			flag[i] = flag[i^1] = 1; //正向反向都标记，保证不会回返
			int v = e[i].to;
			d[v] = d[u]+e[i].w;
			dfs(v);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		addedge(x,y,1);addedge(y,x,-1); //正向边权值为1,反向边为-1
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++){//先求环
		if(!vis[i])DFS(i);
	}
	if(ans){ //说明有环
		if(ans<3)printf("-1 -1");
		else{
			int i;
			for(i = 3;i <= ans;i++){ //ans的最小约数即为最少种类数
				if(ans%i==0)break;
			}
			printf("%d %d",ans,i);
		}
		return 0;
	}
	memset(vis,0,sizeof(vis)); //说明无环
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		if(!vis[i]){
			mx = mn = d[i] = 0;
			dfs(i);
			ans+=mx-mn+1; //最大值为链长
		}
	}
	if(ans>=3)printf("%d %d",ans,3);
	else printf("-1 -1");
	return 0;
}