如何在O(n)时间内处理字符串以每个位置为中心的最长回文。这里转载一个Manacher算法的论文翻译。
原文地址：
http://zhuhongcheng.wordpress.com/2009/08/02/a-simple-linear-time-algorithm-for-finding-longest-palindrome-sub-string/
其实原文说得是比较清楚的，只是英文的，我这里写一份中文的吧。
首先：大家都知道什么叫回文串吧，这个算法要解决的就是一个字符串中最长的回文子串有多长。这个算法可以在O（n）的时间复杂度内既线性时间复杂度的情况下，求出以每个字符为中心的最长回文有多长，
这个算法有一个很巧妙的地方，它把奇数的回文串和偶数的回文串统一起来考虑了。这一点一直是在做回文串问题中时比较烦的地方。这个算法还有一个很好的地方就是充分利用了字符匹配的特殊性，避免了大量不必要的重复匹配。
算法大致过程是这样。先在每两个相邻字符中间插入一个分隔符，当然这个分隔符要在原串中没有出现过。一般可以用‘#’分隔。这样就非常巧妙的将奇数长度 回文串与偶数长度回文串统一起来考虑了（见下面的一个例子，回文串长度全为奇数了），然后用一个辅助数组P记录以每个字符为中心的最长回文串的信息。 P［id］记录的是以字符str［id］为中心的最长回文串，当以str［id］为第一个字符，这个最长回文串向右延伸了P［id］个字符。
原串： w aa bwsw f d
新串： # w # a # a # b # w # s # w # f # d #
辅助数组P： 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1
这里有一个很好的性质，P［id］-1就是该回文子串在原串中的长度（包括‘#’）。如果这里不是特别清楚，可以自己拿出纸来画一画，自己体会体会。当然这里可能每个人写法不尽相同，不过我想大致思路应该是一样的吧。
好，我们继续。现在的关键问题就在于怎么在O（n）时间复杂度内求出P数组了。只要把这个P数组求出来，最长回文子串就可以直接扫一遍得出来了。
由于这个算法是线性从前往后扫的。那么当我们准备求P［i］的时候，i以前的P［j］我们是已经得到了的。我们用mx记在i之前的回文串中，延伸至最右 端的位置。同时用id这个变量记下取得这个最优mx时的id值。（注：为了防止字符比较的时候越界，我在这个加了‘#’的字符串之前还加了另一个特殊字符 ‘$’，故我的新串下标是从1开始的）
好，到这里，我们可以先贴一份代码了。
复制代码void pk()
{
int i;
int mx = 0;
int id;
for(i=1; i<n; i++)
{
if( mx > i )
p[i] = MIN( p[2*id-i], mx-i );
else
p[i] = 1;
for(; str[i+p[i]] == str[i-p[i]]; p[i]++)
;
if( p[i] + i > mx )
{
mx = p[i] + i;
id = i;
}
}
}
代码是不是很短啊，而且相当好写。很方便吧，还记得我上面说的这个算法避免了很多不必要的重复匹配吧。这是什么意思呢，其实这就是一句代码。
if( mx > i )
p[i] = MIN( p[2*id-i], mx-i );
就是当前面比较的最远长度mx>i的时候，P［i］有一个最小值。这个算法的核心思想就在这里，为什么P数组满足这样一个性质呢?
（下面的部分为图片形式）
以上都是翻译部分，这里在贴一个poj3974的AC代码，果然是瞬秒啊。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN=1000010;
char str[MAXN],s[MAXN*2];
int n,p[MAXN*2],ans,cases=1;
void rebuild()
{
s[0]='$',s[1]='#';
n=strlen(str);
for(int i=0;i<n;++i)
s[2*i+2]=str[i],s[2*i+3]='#';
s[n=n*2+2]=0;
}
void solve()
{
int mx=0,id,ans=1;
for(int i=0;i<n;++i)
{
if(mx>i)p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);
else p[i]=1;
for(;s[i-p[i]]==s[i+p[i]];p[i]++);
if(p[i]+i>mx)mx=p[i]+i,id=i;
ans=max(ans,p[i]);
}
printf("Case %d: %d\n",cases++,ans-1);
}
int main()
{
while(scanf("%s",str),str[0]-'E')
{
rebuild();
solve();
}
return 0;
}
--
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※ 修改:·rainy 于 Jul 23 21:32:56 2011 修改本文·[FROM: 2001:da8:a800:2046:880:670:c2b0:8124]
※ 来源:·BBS 碧海青天站 http://bbs.dlut.edu.cn·[FROM: 2001:da8:a800:2046:880:670:c2b0:8124]
附件: 这里，我介绍一下O（n）回文串处.txt (3410 字节)
此主题相关图片如下：8_56_4f13d6e009ae79e.png (88KB)