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哥德巴赫猜想, 这个话题其实在网上可以找到很多资料, 我就加一些我自己的话吧.
这的确是好话题. 为什么这么说呢, 因为哥德巴赫猜想(简称"1+1")可以说是在中国知名度最高的数学难题. 如果有人上大街做个调查, 让路人甲说出个数学猜想来, 肯定最多人回答哥德巴赫猜想; 如果要说出几个中国数学家的名字, 那肯定是华罗庚, 陈景润(陈景润在这方面做出突出工作, 华罗庚是他师傅).
甚至, 还有艺人为哥德巴赫猜想写了首歌:
可见这个猜想在中国的知名度.
为什么这个猜想在中国会这么红呢? 又为什么简称为"1+1"呢? 我们还是先来了解一下这个猜想的前世今生吧.
1哥德巴赫其人
哥德巴赫是18世纪的一个业余数学家, 他家境比较好, 对数学很感兴趣. 由于不用像普通老百姓一样为生计奔波, 所以经常搞点小研究, 而且还和很多数学家交了朋友. 毕竟不是职业的数学家, 他没有什么很了不起的成就, 让他出名的是他提出了"哥德巴赫猜想". 我在360百科找来了他的肖像:
2猜想的提出
哥德巴赫结交的数学家朋友当中, 甚至包括大名鼎鼎的欧拉. 有一次, 哥德巴赫感觉自己发现了什么了不解的结论, 又不知道怎么去证明, 于是就给欧拉写了封信. 大数学家欧拉一看, 也觉得很有道理, 但也没证出来. 连欧拉都不会证, 这个猜想就变得出名了, 吸引了很多人去证. 哥德巴赫的猜想是这样的:
●任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和;
●任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和.
奇数偶数就不复习了吧, 复习一下什么叫质数:
通俗来讲, 就是不能分解成两个更小的自然数相乘的自然数(除了1);
6=2×3, 能分解, 所以6不是质数;
9=3×3, 所以9也不是质数;
但是对于7, 是分解不了的, 所以7是质数;
最小的的几个质数是2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ……;
质数有无穷多个, 这个我记得我之前的文章有过证明;
质数有时候也叫素数, 完全是同义词.
那么, 哥德巴赫猜想是怎么回事呢? 例如偶数6, 6=3+3, 是两个奇素数之和; 8=3+5也是. 10=5+5, 12=5+7, 14=11+3, …… 哥德巴赫猜想就是说, 每一个偶数都能这样表示.
对于奇数呢, 就是三个素数相加, 例如: 9=3+3+3, 11=3+3+5, 13=3+5+5, 15=3+5+7, ……
很明显, 奇数和偶数都有无穷多个, 这样列举下去是不可能证明出来, 必须靠逻辑推理才行.
3猜想的研究
实际上, 奇数的那部分已经被前苏联数学家维诺格拉多夫证出来了注. 所以现在说的哥德巴赫猜想一般是指偶数那部分:
●任何不小于6的偶数，都是两个奇素数之和.
数学家们是用什么思路去探索的呢? 他们想把条件放宽一点, 先证明简单点的, 然后再一点点收紧条件, 最终完成证明. 怎么放宽呢?
这个猜想的一个难处在于, 素数太少了. 你别看2, 3, 5, 7都是素数, 当整数越来越大的时候, 素数是很稀疏的. 素数那么少, 想把任一个偶数表示成两个素数之和就有点困难了. 要放宽点条件, 数学家顺着这样的思路想:
1. 把一个偶数2n写成2n=p+q(两个素数相加), 有难度; 那就用另一个办法表示2n=A+B;
2. A和B要有点像素数, 但是又要比素数多;
3. A, B在什么范围内选取比较恰当呢? 素数是指不能分解的数, 那么a和b选取这样的数就很合适:
不要求不能分解, 但不能分解得太多.
这样的数叫做"殆素数". 至于殆素数的精确定义, 这里就不详细介绍了, 只是举例子感受一下为什么殆素数有点像素数, 但是又要比素数多:
前25个素数是:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
前25个不超过两个素因子的殆素数是:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 33, 34, 35, 37
前25个不超过三个素因子的殆素数是:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28
要注意的是, 尽管殆素数要比素数多, 但是在很大的时候, 仍然是很稀疏的! 所以猜想的难度变小了, 但依然很有难度.
4为什么叫"1+1"
所以原本猜想是要证明所有偶数都能写成两个素数相加, 现在变成了两个殆素数相加就可以了. 如果证明到了
●任何不小于6的偶数2n，都是两个殆素数之和, 2n=A+B.
其中A的素因子不超过a个, B的素因子不超过b个.
那这个结论就简称"a+b". a和b是事先给定的. 例如有人证明了
●任何不小于6的偶数2n，都是两个殆素数之和, 2n=A+B.
其中A的素因子不超过7个, B的素因子不超过8个.
那么我们可以说, 他证明了"7+8".
可以想象, a和b越小, "a+b"就越难证, 因为素因子个数少的殆素数是比较少的. 这个从上面举的例子可以感受到.
素因子个数为1的殆素数, 实际上就是素数, 所以哥德巴赫猜想就简称为"1+1"了. 这就是哥德巴赫猜想简称为"1+1"的原因.
哥德巴赫猜想不是1+1=2!
哥德巴赫猜想不是1+1=2!!
哥德巴赫猜想不是1+1=2!!!
后来数学家主要研究方向就是, 先对比较大的a和b证明"a+b", 再逐步缩小, 一直缩小到"1+1". 详情请看下节.
5猜想的进展
剧透: 中国人将在本节隆重登场!
有了上述思路, 数学家开始了智力上的接力:
1920年, 挪威的布朗证明了"9 + 9"注.
虽然这离"1+1"差很远, 但这是一次重要的突破. 自1742年哥德巴赫猜想提出以来, 一直没有什么实质性的进展. 而"9+9"的证明, 实际上是指明了一个方向, 说明了通过殆素数来证明是有可能行得通的.
1924年, 德国的拉特马赫证明了"7 + 7"注.
1932年, 英国的埃斯特曼证明了"6 + 6"注.
1937年, 意大利的蕾西先后证明了"5 + 7", "4 + 9", "3 + 15"和"2 + 366"注.
1938年, 苏联的布赫夕太勃证明了"5 + 5"注.
1940年, 苏联的布赫夕太勃证明了"4 + 4"注.
1956年, 中国的王元证明了"3 + 4". 稍后证明了"3 + 3"和"2 + 3"注.
1948年, 匈牙利的瑞尼证明了"1+ c", 其中c是一很大的自然数注.
1962年, 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了"1 + 5", 中国的王元证明了"1 + 4"注.
1965年, 苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫, 及意大利的朋比利证明了"1 + 3 "注.
1966年, 中国的陈景润证明了 "1 + 2 "注.
(以上摘自360百科.)
陈景润的结论被称为"陈氏定理". "1+2"和"1+1", 仅差一步之遥! 然而这一步是最难的一步, 从"9+9"到"1+2"用了46年, 但在50年后的今天, 从"1+2"到"1+1"仍没有实现! 哥德巴猜想依然是猜想, 没变成定理.
从这个进展的过程, 可以发现中国人的贡献是很大的, 而且最好的成果也是来自中国人, 因此, 哥德巴赫猜想在中国的明星地位是理所当然的.
陈景润对"1+2"的证明被称作是"筛法理论的光辉顶点", 也就是他把"筛法"这个数学工具发挥到极致.
但是从另一个角度讲, "筛法"发挥到了极致也只证到了"1+2", 很可能这个方法证不了"1+1", 需要全新的理论和方法才能证得了"1+1". 又或者, 哥德巴赫猜想可能根本就不成立呢? 虽然计算机已经验证了很多很多的数, 都是对的, 但是保证不了有一个更大的偶数, 不能写成两个素数之和. 与此前的逐步攻克难关相比, 哥德巴赫猜想这几十年的进展确实沉寂了很多. 未来无论是证明或者否定它, 都将对数学家, 对人类的智力, 是极大的挑战.
注: 本文所说的"证明", 都是指对充分大的数成立的. 例如维诺格拉多夫证明的奇数版哥德巴猜想, 其实他没有证明任意奇数都能表示成三个素数之和, 而是证明了:
一个充分大的奇数可以表示成三个素数之和.
什么叫充分大呢? 例如大于一万万万亿. 一般这种情况数学家就当作这问题已经解决了. 因为无限多个整数中只剩下前面的有限个没证明. 剩下的事就是想办法把那个一万万万亿变小, 或者干脆等计算机更发达的时候一个个去验证好了, 反正有限个, 总能验证完的.