模！

同余方程组

如何解一个同余方程组：$$a_i x equiv b_i (mod m_i)$$

首先我们可以知道，解一定是这样的一个形式：$$x equiv b(mod m)$$

初始，我们可以令(b=0, m=1)表示所有整数。

现在的问题转化为求解这样两个方程：

[x equiv c (mod m) ]

[a x equiv b(mod m_i) ]

令(x=pm + c)，则有(a p m + q m_i=b + ca)，如果((a m, m_i) mid b + ca)无解，否则用扩展欧几里德解出(p,q)，进而得到$$x equiv pm + c (mod frac {m_im} {(m_i, am)})$$

中国剩余定理

一些计数类题目的取模有可能不是质数，然后有一些神奇的性质用不了。

这时我们可以把模数(m)拆开为$$prod {p_i}^k$$，其中(P_i)是质数。根据中国剩余定理的神奇性质，我们可以对每个 ({P_i}^k)当作取模数计算一次答案，然后合并出最后的答案。

也就是，我们要解同余方程组：$$xequiv b_i(mod m_i)$$，这里所有(m_i)两两互素。

令(M = prod m_i,M_i = {M over m_i})，那么((m_i,M_i)=1)，所以，我们可以解$$M_ip_i+m_iq_i=1$$，这时候，有个关键的事实：$$M_ip_i=1(mod m_j) iff j=i$$，这样的话，答案就是：$$sum b_iM_ip_i$$

模意义下的幂

一个神奇定理，证明传送门。

[a^b equiv a ^{b mod phi(m) + phi(m)} (mod m),b>phi(m) ]

做过的一些题目

POJ 1150 The Last Non-zero Digit

把(2,5)的因子抽出来，然后使用分治的手段统计数字模(10)后等于(3,7,9)的各个数量。

POJ 1284 Primitive Roots

求原根数量，好像有这样一个公式？$$phi(phi(m))$$
现在水平有限，不会证 。

POJ 2115 C Looooops

裸的扩展欧几里德。

POJ Recurrent Function

裸的同余方程组。

POJ 2720 Last Digits

用了上面的神奇定理（模下的幂）就简单了。