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  • 等比数列的概念和性质

    前言

    • 重新编辑于2020-02-26 by WangHai.

    相关概念

    刻画等比数列的几种语言

    [自然语言]:从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列称为等比数列,这个常数称为公比,常用(q)来表示。

    [符号语言]:

    (cfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=q)(ngeqslant 1)(nin N^*)(q)为常数。

    (cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q)(ngeqslant 2)(nin N^*)(q)为常数。

    [图形语言]:

    • 等比中项:如果三个实数(a,G,b)成等比数列,则(G)称为(a,b)的等比中项,满足(G^2=ab)[1]
    • 等比数列的通项公式:(a_n=a_1cdot q^{n-1}),推广形式为(a_n=a_mcdot q^{n-m})

    • 等比数列的前(n)项和公式:(S_n=left{egin{array}{l}{na_1,q=1}\{cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q eq 1}end{array} ight.)

    其中(n)为参与求和的项数,而不是最后一项的指数。上述公式体现的是分段函数,当知道(q)的值的时候,自然是确定的某一段函数,题目考查第二段的时候居多,当不知道(q)的值时,应该分类讨论,尤其容易漏掉对第一段的说明;实际应用中,当(q>1)时,为减少运算步骤,常用(S_n=cfrac{a_1cdot(q^n-1)}{q-1})

    相关性质

    • ①在等比数列({a_n})中,若(m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kin N^*)),则(a_mcdot a_n=a_pcdot a_q=a_k^2)

    • ②若数列({a_n})({b_n})(项数相同)是等比数列,则({lambda a_n}(lambda eq 0))({cfrac{1}{a_n}})({a_n^2})({a_ncdot b_n})({cfrac{a_n}{b_n}})仍然是等比数列;其公比的求解依然利用等比数列进行,比如数列({a_ncdot b_n})的公比应该是(cfrac{a_2cdot b_2}{a_1cdot b_1})(=cfrac{a_2}{a_1})( imescfrac{b_2}{b_1}),其他同理;

    • ③在等比数列({a_n})中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即(a_m,a_{m+k},a_{m+2k},a_{m+3k},cdots)为等比数列,公比为(q^k)[2]

    • ④当公比(q eq-1)(q=1)(n)为奇数时,则(S_n)(S_{2n}-S_n)(S_{3n}-S_{2n})(cdots) 仍成等比数列,其公比为(q^n)

    当公比(q=-1)时,(S_n)(S_{2n}-S_n)(S_{3n}-S_{2n})(cdots)不一定成等比数列,若(n)为偶数,则其不能构成等比数列,若(n)为奇数,则可以构成等比数列。

    比如数列(2,-2,2,-2,2,-2,cdots,2,-2),则(S_2=0)(S_4=0)(S_6=0),则(S_2)(S_4-S_2)(S_6-S_4)(cdots),就不能构成等比数列;

    • (q eq 1)的等比数列的前(2n)项,

    (S_{偶}=a_2+a_4+a_6+cdots+a_{2n})(S_{奇}=a_1+a_3+a_5+cdots+a_{2n-1}),则(cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q)

    说明:(S_{偶}=a_2+a_4+a_6+cdots+a_{2n}=cfrac{a_2cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2})(S_{奇}=a_1+a_3+a_5+cdots+a_{2n-1}=cfrac{a_1cdot [1-(q^2)^n]}{1-q^2}),则(cfrac{S_{偶}}{S_{奇}}=q)

    • ⑥等比数列的单调性判断,依然遵从函数的单调性判断,取决于两个参数(a_1)(q)的取值,由于

    [a_n=a_1cdot q^{n-1} ]

    故当(left{egin{array}{l}{a_1>0}\{q>1}end{array} ight.)(left{egin{array}{l}{a_1<0}\{0<q<1}end{array} ight.)时,(a_n)单调递增;

    (left{egin{array}{l}{a_1>0}\{0<q<1}end{array} ight.)(left{egin{array}{l}{a_1<0}\{q>1}end{array} ight.)时,(a_n)单调递减;

    判定证明

    证明方法:

    • 定义法:(cfrac{a_n}{a_{n-1}}=q(nge 2)),或者(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q(nge 1))

    • 等比中项法:(a_{n+1}^2=a_ncdot a_{n+2}(nge 1)),或者(a_n^2=a_{n+1}cdot a_{n-1}(nge 2))

    判定方法:除了上述的两种方法以外,还有

    • 通项公式法:(a_n=ccdot q^n(nin N^*))(c)(q)均为不为零的常数,

    说明:(a_n=a_1cdot q^{n-1}=cfrac{a_1}{q}cdot q^n=ccdot q^n)[指数型函数],

    • (n)项和法:(S_n=kcdot q^n-k)(k eq 0)(q eq 0)(q eq 1)

    说明:(S_n=cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1}{1-q}-cfrac{a_1}{1-q}cdot q^n),令(-cfrac{a_1}{1-q}=k),则(S_n=kcdot q^n-k)

    如果判定某数列不是等比数列,只需要判定其有连续三项不成等比数列即可,这样就可以联系到赋值法,比如常常判断(a_2^2 eq a_1cdot a_3)

    变形技巧

    ①常用的数学公式:

    $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$;
    $a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2$;
    $1-q^2=(1-q)(1+q)$;
    $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$;
    $1-q^6=1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)$;
    $frac{S_6}{S_3}=frac{frac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{frac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3$

    ②整体思想的运用,解方程组时整体相除,

    (left{egin{array}{l}{a_1q^3-a_1q=6①}\{a_1q^4-a_1=15②}end{array} ight.)

    两式相除得到,(cfrac{a_1(q^3-q)}{a_1(q^4-1)}=cfrac{a_1q(q^2-1)}{a_1(q^2+1)(q^2-1)}=cfrac{q}{1+q^2}=cfrac{2}{5}),从而解得(q=2)(q=cfrac{1}{2})

    • 求比值时整体思想的运用;

    再比如给定等比数列({a_n})的公比为(q=2),求(cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7})的值。

    由题目可知,(cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=cfrac{(a_5+a_6+a_7)cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8)

    ③当涉及(S_n)的下标比较小的运算题目时,常常利用定义式。

    比如已知等比数列的(S_3=8),则可知(S_3=a_1+a_2+a_3=8),这样可以有效的避免分类讨论,而不是利用(cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8)来计算,

    如果非要利用这个公式,你就必须先分类讨论排除(q eq 1),否则使用就是错的。

    ④比例因子的运用。设等比数列({a_n})的前(n)项的和为(S_n),若(cfrac{S_6}{S_3}=cfrac{1}{2}),则(cfrac{S_9}{S_6})=?

    分析:引入比例因子,设(cfrac{S_6}{S_3}=cfrac{1}{2}=cfrac{k}{2k}(k eq 0))

    (S_6=k)(S_3=2k)(S_6-S_3=-k),由(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6)成等比数列,

    可知(S_9-S_6=cfrac{k}{2}),则(S_9=cfrac{3k}{2}),故(cfrac{S_9}{S_6}=cfrac{frac{3k}{2}}{2k}=cfrac{3}{4})

    ⑤在数列题目中,若出现各项为正数或(a_n>0),则有(a_n+a_{n+1}>0),或者(a_n+a_{n-1}>0),这样就为约分埋下了伏笔。

    比如某个题目变形得到((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}),约掉(a_n+a_{n-1}),得到(a_n-a_{n-1}=1),即({a_n})是等差数列。

    ⑥若出现证明数列({a_n+1})为等比数列,则你必须意识题目已经给了变形的提示,因为变形到最后必然会出现(a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数))

    或者出现同类型的(a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)),这样你往上回溯,自然就会看到题目应该怎么变形了。

    ⑦ 等比数列求和中的项数的计算

    如数列求和:(S=2^1+2^3+2^5+cdots+2^{2n+3})

    其项数的计算,可以利用上标来计算,其上标刚好成等差数列,

    故项数(r=cfrac{a_n-a_1}{d}+1=cfrac{(2n+3)-1}{3-1}+1=n+2)

    (S=cfrac{2cdot (4^{n+2}-1)}{4-1}=cfrac{2}{3}(4^{n+2}-1))

    ⑧设元技巧

    当题目已知三个数成等比数列时,我们常常依次设三个数为(cfrac{a}{q})(a)(aq),这样设元的优越性在于其积为(a^3),如果题目恰好已知了其积的值,则中间的数立马可知,这样变量就剩下一个(q)了;

    当已知五个数成等差数列时,常设为(cfrac{a}{q^2})(cfrac{a}{q})(a)(aq)(aq^2)

    ⑨已知(a_n=2n-1),则(a_{2^{n-1}}=2cdot 2^{n-1}-1=2^n-1)

    (a_{log_2n-1}=2(log_2n-1)-1=2log_2n-3)(a_{log_2(n-1)}=2log_2(n-1)-1)

    给出方式

    • 直接给出:(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=3)

    • 变形给出:(S_{n+1}-S_n=3(S_n-S_{n-1}))

    • 变形给出:(2^{a_{n+1}}=2^{3a_{n}})((a_n>0)),则得到(a_{n+1}=3a_n)

    • 变形给出:(log_3a_n+1=log_3a_{n+1}),则得到(a_{n+1}=3a_n)

    • 变形给出:(cfrac{a_{n+1}^2}{a_n}=4(a_{n+1}-a_{n})),得到((a_{n+1}-2a_n)^2=0)

    • 变形给出:(a_n>0),点((a_{n+1}^2,a_n^2))在直线(x-9y=0)上,则(a_{n+1}^2=9a_n^2),即(a_{n+1}=3a_n)

    • 构造给出:如(a_{n+1}=2a_n+1),构造得到(a_{n+1}+1=2(a_n+1)),即数列({a_n+1})为等比数列;

    其他变形请参阅常见构造方法

    典例剖析

    例1【2018·广州综合测试】已知数列({a_n})为等比数列,若(a_4+a_6=10),则(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9)的值为 【】

    $A.10$ $B.20$ $C.100$ $D.200$

    【法1】分析:(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9=a_7a_1+2a_3a_7+a_3a_9)

    (=a_4^2+2a_4a_6+a_6^2=(a_4+a_6)^2=10^2=100)。故选(C)

    【法2】:特殊化策略,由于题目数列({a_n})为等比数列,(a_4+a_6=10),则可以将其特殊化为(a_4=a_6=5)的特殊的等比数列,即常数列,

    此时(a_n=5),代入运算得到(a_7(a_1+2a_3)+a_3a_9=100),故选(C)

    例2【2018(cdot)宁夏石嘴山高三联考】在各项均为正数的等比数列({a_n})中,(a_2cdot a_{10}=9),则(a_5+a_7) 【 】

    $A.有最小值6$ $B.有最大值6$ $C.有最大值6$ $D.有最小值3$

    分析:由(a_n>0)(a_2cdot a_{10}=9),则可知(a_5cdot a_7=9)

    则由均值不等式可知,(a_5+a_7ge 2sqrt{a_5a_7}=6)

    当且仅当(a_5=a_7=3)时取得等号,

    (a_5+a_7)有最小值(6),故选(A)

    例3【】已知方程((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0)的四个根组成以(cfrac{1}{2})为首项的等比数列,则(cfrac{m}{n})等于【】

    $A.cfrac{3}{2}$ $B.cfrac{3}{2}或cfrac{2}{3}$ $C.cfrac{2}{3}$ $D.以上都不对$

    分析:设(a,b,c,d)是方程((x^2-mx+2)(x^2-nx+2)=0)的四个根,

    不妨设(a<c<d<b),则有(ab=cd=2),且(a=cfrac{1}{2}),则(b=4)

    根据等比数列的性质可知,(c=1)(d=2)

    (m=a+b=cfrac{1}{2}+4=cfrac{9}{2})(n=c+d=3)

    或者(n=a+b=cfrac{1}{2}+4=cfrac{9}{2})(m=c+d=3)

    (cfrac{m}{n}=cfrac{3}{2})(cfrac{m}{n}=cfrac{2}{3}),故选(B)

    例4【2018奉贤区一模】已知数列({a_n})的首项(a_1=1)(a_{n+1}=3S_n(nin N^*)),则下列结论正确的是【】

    $A.数列{a_n}是等比数列$
    $B.数列a_2,a_3,cdots,a_n是等比数列$
    $C.数列{a_n}是等差数列$
    $D.数列a_2,a_3,cdots,a_n是等差数列$

    分析:由(a_{n+1}=3S_n(nge 1)),可得(a_n=3S_{n-1}(nge 2)),两式做差,得到

    (a_{n+1}-a_n=3a_n(nge 2)),整理得到,

    (nge 2)时,满足(a_{n+1}=4a_n)

    由于(a_1=1)(a_{n+1}=3S_n(nge 1)),故得到(a_2=3)

    故数列({a_n})的通项公式为(a_n=left{egin{array}{l}{1,n=1}\{3cdot 4^{n-2},nge 2}end{array} ight.)

    即数列({a_n})不是等比数列,但是数列(a_2)(a_3)(cdots)(a_n)是等比数列;故选(B)

    例5【等比中项,易错题】已知等比数列({a_n})中, (a_3=4)(a_9=1), 求(a_6=)

    分析:(a_6^2=a_3cdot a_9=4),故(a_6=pm 2)。原因是(a_6=a_3cdot q^3)(q^3)可取正负两种情形,故(a_6=pm 2)

    • 对照:已知等比数列({a_n})中, (a_3=4)(a_{11}=1), 则(a_7=)

    分析:(a_7^2=a_3cdot a_{11}=4),故(a_7=pm 2)。又由于(a_7=a_3cdot q^4)(q^4)只能取正值一种情形,故(a_7=2)

    例6【2018漳州八校联考】等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),若(S_3=2)(S_6=18),则(cfrac{S_{10}}{S_5})等于【】

    $A.-3$ $B.5$ $C.-31$ $D.33$

    分析:由题目可知(q eq 1),则(cfrac{S_6}{S_3}=frac{cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}}{cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}}=1+q^3=9)

    (q=2),同理,(cfrac{S_{10}}{S_5}=frac{cfrac{a_1(1-q^{10})}{1-q}}{cfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}}=1+q^5=33)

    故选(D)

    例7【2018辽宁沈阳二模】已知数列({a_n})是等比数列,且(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64),则(tan(cfrac{a_4a_6}{3}cdot pi))=【】

    $A.sqrt{3}$ $B.-sqrt{3}$ $C.-cfrac{sqrt{3}}{3}$ $D.pm sqrt{3}$

    分析:由(a_2a_3a_4=-a_7^2=-64),可知(a_3^3=-64),故(a_3=-4),又(a_7=a_3cdot q^4<0),故由(a_7^2=64),可得(a_7=-8),这样(a_4a_6=a_3a_7=32)

    (tan(cfrac{a_4a_6}{3}cdot pi)=tan(cfrac{32}{3}cdot pi)=tan(cfrac{2pi}{3})=-sqrt{3}),故选(B).

    例8【2017全国卷2,文科第17题高考真题】已知等差数列 ({a_n})的前(n)项和为(S_n),等比数列 ({b_n})的前(n)项和为(T_n)(a_1=-1,b_1=1,a_2+b_2=2)

    (1)若(a_3+b_3=5),求({b_n})的通项公式。

    分析:设等差数列的公差为(d),等比数列的公比为(q)

    则由题目可知(egin{cases}-1+d+1cdot q=2\-1+2d+1cdot q^2=5end{cases})

    (egin{cases}d+ q=3\2d+ q^2=6end{cases})

    解得(q^2-2q=0),故(q=2或q=0(舍去))

    故等比数列({b_n})的通项公式为(b_n=2^{n-1})

    (2)若(T_3=21),求(S_3)

    分析:由于(b_1=1,T_3=21),故(1+q+q^2=21),解得(q=-5)(q=4)

    (q=-5)时,由(a_2+b_2=2)得到(d=8),此时(S_3=-1+7+15=21)

    (q=4)时,由(a_2+b_2=2)得到(d=-1),此时(S_3=-1-2-3=-6)

    例9【2017全国卷2,理科第15题高考真题】已知等差数列 ({a_n})的前(n)项和为(S_n)(a_3=3)(S_4=10),则(sumlimits_{k=1}^n{ cfrac{1}{S_k}})

    分析:由(a_1+2d=3)(4a_1+6d=10)

    容易计算出(a_n=n),故(S_n=cfrac{n(n+1)}{2})

    则有(cfrac{1}{S_n}=cfrac{2}{n(n+1)}=2(cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+1}))

    (sumlimits_{k=1}^n {cfrac{1}{S_k}}=2[(1-cfrac{1}{2})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3})+cdots +(cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+1})])

    (=2(1-cfrac{1}{n+1})=cfrac{2n}{n+1})

    例10已知数列({a_n})是递增等比数列,(a_1+a_4=9)(a_2cdot a_3=8),求其前(n)项和(S_n)

    分析:由题目可知(a_2cdot a_3=a_1cdot a_4=8)

    故得到二元二次方程组(egin{cases}a_1+a_4=9\a_1cdot a_4=8end{cases})

    (a_1=9-a_4)代入(a_1cdot a_4=8),解得(a_1=1)(a_1=8)

    对应得到(a_4=8)(a_4=1),即得到两组解,

    (egin{cases}a_1=1\a_4=8end{cases})或者(egin{cases}a_1=8\a_4=1end{cases}(由递增舍去))

    故有(a_1=1,a_4=8),则(q=2)

    (a_n=2^{n-1})(S_n=2^n-1)

    例11在等比数列({a_n})中, (a_4=2)(a_5=5), 则数列({lga_n})的前8项之和(T_8)为多少?

    法1:由(a_4=2)(a_5=5),求得(q=cfrac{5}{2})

    (a_n=a_4cdot q^{n-4}=2cdot (cfrac{5}{2})^{n-4})

    (lga_n=lg2+(n-4)lgcfrac{5}{2}),故({lga_n})为等差数列。

    又可以计算(a_1=cfrac{16}{125})

    (T_8=8lgcfrac{16}{125}+cfrac{8 imes7}{2}cdot lgcfrac{5}{2}=cdots=4)

    法2:由于({a_n})为等比数列,则有(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=q)

    故有(lga_{n+1}-lga_n=lgq),即数列({lga_n})为等差数列。

    (T_8=cfrac{lga_1+lga_8}{2}cdot 8=4lg(a_1cdot a_8)=4lg(a_4cdot a_5)=4lg10=4)

    例12【2017全国卷1,文科第17题高考真题】记(S_n)为等比数列({a_n})的前(n)项和,已知(S_2=2,S_3=-6)

    (1)求数列({a_n})的通项公式。

    分析:本问比较简单,你能说出怎么个简单法吗?

    解方程组得到(a_1=-2,q=-2)

    ({a_n})的通项公式(a_n=-2cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n)

    (2)求(S_n),并判断(S_{n+1},S_n,S_{n+2})是否成等差数列。

    分析:先求解

    (S_n=cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q})

    (=cfrac{-2[1-(-2)^n]}{1-(-2)})

    (=cfrac{-2+2cdot (-1)^ncdot 2^n}{3})

    (=-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3})

    接下来你得意识到,

    (S_n)是个关于自变量(n)的函数,

    故由此我们应该能写出(S_{n+1})(S_{n+2})

    至于等差数列的判断,我们依据等差中项法判断即可,

    即验证(S_{n+2}+S_{n+1})是否等于(2S_n)

    判断如下:(S_{n+2}+S_{n+1})

    (=-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+2}cfrac{2^{n+3}}{3}-cfrac{2}{3}+(-1)^{n+1}cfrac{2^{n+2}}{3})

    (=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncdot (-1)^2cfrac{2^{n+3}}{3}+(-1)^ncdot (-1)^1cfrac{2^{n+2}}{3})

    (=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+3}}{3}-(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

    (=-cfrac{4}{3}+(-1)^n(cfrac{2^{n+2}cdot 2}{3}-cfrac{2^{n+2}}{3}))

    (=-cfrac{4}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+2}}{3})

    (=2[-cfrac{2}{3}+(-1)^ncfrac{2^{n+1}}{3}]=2S_n)

    (S_{n+1},S_n,S_{n+2})成等差数列。

    例13【2016宝鸡市二检理科第9题】设等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),若(S_5)(S_4)(S_6)成等差数列,则数列({a_n})的公比(q)的值为【】

    $A.-2或1$ $B.-1或2$ $C.-2$ $D.1$

    法1:分类讨论法+公式法;若(q=1),则(S_4=4a_1(a_1 eq 0))(S_5=5a_1)(S_6=6a_1),则(2S_4 eq S_5+S_6),故(q eq 1)

    (S_5)(S_4)(S_6)成等差数列,得到(2S_4=S_5+S_6)

    (2 imes cfrac{a_1(1-q^4)}{1-q}=cfrac{a_1(1-q^5)}{1-q}+cfrac{a_1(1-q^6)}{1-q}) 〔运算训练〕

    化简得到,(q^2+q-2=0),解得(q=-2)(舍去(q=1));故选(C)

    法2:定义法,由(S_5)(S_4)(S_6)成等差数列,

    则得到(2S_4=S_5+S_6),即(2(a_1+a_2+a_3+a_4)=(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)+(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6))

    化简得到,(2a_5+a_6=0),即(q=cfrac{a_6}{a_5}=-2),故选(C)

    例14【2018宝鸡市二检理科第4题】已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n),则(S_n=2^n-c(cin R)),若(log_2a_1+log_2a_2+cdots+log_2a_n=10),则(n)值为多少?

    分析:本题目的考点有以下几个,其一求等比数列的(a_n),其二由(S_n)(a_n)

    我们往往需要先由(S_n)(a_n)

    途径一:(a_n)(S_n)法,

    (nge 1)时,(S_n=2^n-c(cin R))

    (nge 2)时,(S_{n-1}=2^{n-1}-c(cin R))

    (nge 2)时,(a_n=S_n-s_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1})

    所以,(a_n=2^{n-1}(nin N^*))(此处可以验证,也可以不验证,已知的等比)

    途径二:由等比数列的前(n)项和(S_n=cfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1}{1-q}cdot (1-q^n)=mcdot q^n-m(m=-cfrac{a_1}{1-q}))的性质可知,

    (c=1)(q=2),再由(S_1=a_1=2^1-1=1)

    (a_n=1 imes 2^{n-1}(nin N^*))

    接下来用对数的性质求解转化:

    (a_1cdot a_2cdot a_n=2^0cdot 2^1cdots 2^{n-1}=2^{0+1+cdots+(n-1)}=2^{frac{n(n-1)}{2}})

    (log_2a_1+log_2a_2+cdots+log_2a_n=log_2(a_1cdot a_2cdots a_n)=log_22^0cdot 2^1cdots 2^{n-1})

    (=log_22^{0+1+cdots+(n-1)}=log_22^{frac{n(n-1)}{2}}=cfrac{n(n-1)}{2}=10),解得(n=5)

    解后反思:

    1、熟练理解等差、等比数列的常用性质,尤其是从函数角度出发的性质,对数学解题有很大的帮助。

    2、本题目原来是选择题,给了(2,3,4,5)四个选项,当进行到解方程(cfrac{n(n-1)}{2}=10)时,应该意识到验证总比解方程要节省时间。


    1. 对等比中项的理解和把握,要比等差中项难得多。任意两个实数都有等差中项,但任意两个实数不一定都有等比中项。
      注意:①必须(ab>0)才能保证(G)的存在性。比如(-2)(3)就没有等比中项;
      ②若(1)(G)(4)三个数成等比数列,则(G=pm 2)[两个值];但是若(-1)(2)(G)(8)(-16)成等比数列,则(G=-4)[一个值,原因是限制条件比前面得情形要多]; ↩︎

    2. 由于(a_m=a_1cdot q^{m-1})(a_{m+k}=a_1cdot q^{m+k-1})
      则新数列的公比为(cfrac{a_{m+k}}{a_m}=cfrac{a_1cdot q^{m+k-1}}{a_1cdot q^{m-1}}=q^k); ↩︎

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