随机抽样

前言

抽样方法

• 简单随机抽样：抽签法和随机数表法

• 系统抽样

• 分层抽样

• 三种抽样方法的区别和联系

运算技巧

• (A，B，C)三种不同型号的产品，数量比为(3：4：7)，分层抽样抽出容量为(n)的样本，样本中(A)产品有(15)件，求样本容量(n)。

法1：(cfrac{3}{3+4+7} imes n=15)，解得(n=70)；

法2：引入比例因子，三种产品的数量分别为(3k，4k，7k)，则(3k=15)，即(k=5)，

故样本容量为(n=3k+4k+7k=14k=14 imes 5=70)；

• 利用随机数表法时，由于每一位上的数字都是随机等可能出现的，故读数的方向可以向左、向右，也可以向上、向下，甚至斜向读数都可以，一般从左向右读数。

典例剖析

例1【概念辨析】在(100)个零件中，有一级品(20)个，二级品(30)个，三级品(50)个，从中抽取(20)个作为样本：

①采用随机抽样法，将零件编号为(00)，(01)，(cdots)，(99)，抽出20个；

②采用系统抽样法，将所有零件分成(20)组，每组(5)个，然后每组中随机抽取一个；

③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取(4)个，二级品中抽取(6)个，三级品中抽取(10)个，则【 】

(A.)不论采用哪种抽样方法，这(100)个零件中每个被抽到的概率都是(cfrac{1}{5})

(B.)①②两种抽样方法，这(100)个零件中每个被抽到的概率都是(cfrac{1}{5})，③并非如此

(C.)①③两种抽样方法，这(100)个零件中每个被抽到的概率都是(cfrac{1}{5})，②并非如此

(D.)采用不同的抽样方法，这(100)个零件中每个被抽到的概率各不相同

分析：根据三种抽样的定义，简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是随机抽样，每个个体被抽到的概率都相等，都是等概率抽样。故选(A)。

解后反思：

• 总体容量为(N)，样本容量为(n)，不论哪一种抽样方法，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率都为(cfrac{n}{N})；

• 原理：总体容量为(N)，样本容量为(n)，求个体(a)被抽到的概率。

分析：从(N)个任意抽取(n)个的所有可能为(C_N^n)种，其中抽到个体(a)的可能为(C_1^1cdot C_{N-1}^{n-1})种，

故个体(a)被抽到的概率为(P=cfrac{C_1^1cdot C_{N-1}^{n-1}}{C_N^n}=cfrac{A_{N-1}^{N-1}/A_{n-1}^{n-1}}{A_N^N/A_n^n}=cfrac{A_{N-1}^{N-1}cdot A_n^n}{A_N^Ncdot A_{n-1}^{n-1}}=cfrac{n}{N})。

• 总体容量为(362)，样本容量为(40)，再采用系统抽样方法抽取，此时需要先剔除(2)个个体，则此时每一个个体如(A)，被抽到的概率还是(cfrac{40}{362})；

分析：个体(A)被抽到，需要第一次抽取时未被剔除，其概率为(cfrac{360}{362})；而第二次个体(A)必须被抽到，其概率为(cfrac{40}{360})，故个体(A)被抽到的概率为(cfrac{40}{362}).

例2【和数列交汇命题】从编号为(001)，(002)，(cdots)，(500)的(500)个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号为(007)，(032)，则样本中最大的编号应该为___________；

分析：系统抽样得到的样本编号成等差数列，令(a_1=7)， (a_2=32)，(d=25)，所以(a_n=7+25(n-1)leq 500)，所以(nleq 20)，最大编号为(7+25 imes 19=482)。

例3【分类讨论】某设计院有工程师(6)人，技术员(12)人，技工(18)人，要从这些人中抽取(n)个人参加大会。如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求(n)。

分析：总体容量为(6+12+18=36)，

当样本容量是(n)，由题意可知，系统抽样的间隔为(cfrac{36}{n})，

分层抽样的比例是(cfrac{n}{36})，抽取的工程师人数为(cfrac{n}{36} imes 6=cfrac{n}{6})，

抽取的技术员人数为(cfrac{n}{36} imes 12=cfrac{n}{3})，抽取的技工人数为(cfrac{n}{36} imes 18=cfrac{n}{2})，

所以(n)应该是(6)的倍数，(36)的约数，即(n=6，12，18)，

当样本容量为((n+1))时，总体容量是(35)人，系统抽样的间隔为(cfrac{35}{n+1})，

由于(cfrac{35}{n+1})必须是整数，所以(n)只能取(6)，即样本容量为(n=6)。