前言
一、临界状态
二、具体应用
- 【封闭曲线---圆】
点(p(x_0，y_0))在圆(x^2+y^2=1)上，则(x_0^2+y_0^2=1)；
点(p(x_0，y_0))在圆(x^2+y^2=1)内部，则(x_0^2+y_0^2<1)；
点(p(x_0，y_0))在圆(x^2+y^2=1)外部，则(x_0^2+y_0^2>1)；
- 【封闭曲线---椭圆】
点(p(x_0，y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)上，则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}=1)；
点(p(x_0，y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)内部，则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}<1)；
点(p(x_0，y_0))在椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1)外部，则(cfrac{x_0^2}{a^2}+cfrac{y_0^2}{b^2}>1)；
- 【非封闭曲线---直线】
点(p(x_0，y_0))在直线(ax+by+c=0)上，则(ax_0+by_0+c=0)；
点(p(x_0，y_0))在直线(ax+by+c=0)外(或两侧)，则(ax_0+by_0+c eq 0(>0或<0))；
- 【非封闭曲线---曲线】
点(p(x_0，y_0))在曲线(y^2=2px)上，则(y_0^2=2px_0)；
点(p(x_0，y_0))在曲线(y^2=2px)外(或两侧)，则(y_0^2 eq 2px_0(>2px_0或<2px_0))；
三、典例剖析
已知正棱锥(S-ABC)的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点(P)，使得(V_{P-ABC}<cfrac{1}{2}V_{S-ABC})的概率是【】
分析：做出正棱锥(S-ABC)如图所示，设其高线为(SO=h)，设三棱锥(P-ABC)的高为(h_1)，
先将不等关系改写为相等关系，即(V_{P-ABC}=cfrac{1}{2}V_{S-ABC})，即寻找临界状态下的点(P)的位置。
则由(cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h=cfrac{1}{2}cdot cfrac{1}{3}cdot S_{ riangle ABC}cdot h_1)，得到(h_1=cfrac{1}{2}h)，即处于临界状态时，点(P)应该在正棱锥(S-ABC)的中截面(MND)内，
然后我们就能很容易的分析出要满足(V_{P-ABC}<cfrac{1}{2}V_{S-ABC})，则点(P)应该在正三棱台(NDM-ABC)内部，
故所求概率为(P=1-cfrac{V_{S-MND}}{V_{S-ABC}}=1-cfrac{frac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 2^2cdot h_1}{frac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 4^2cdot h}=1-cfrac{1}{8}=cfrac{7}{8})，故选(B)。
不等关系变化为相等关系。
分析：点(P)的所有结果用正方体的体积来度量，故应该是体积型几何概型。
先考虑临界状态，当点(P)到点(O)的距离等于1时，点(P)在球心为(O)的半球面上，
则当点(P)到点(O)的距离大于1时，点(P)在球心为(O)的半球外部且在正方体的内部，
故所求(P=cfrac{2^3-cfrac{1}{2} imes cfrac{4}{3} imes pi imes 1^3}{2^3}=1-cfrac{pi}{12})。
反思总结：临界状态定界，不等关系定域，这和线性规划中的直线定界，特殊点定域是相通的。
定义在(R)上的函数(y=f(x))，满足(f(3-x)=f(x))，(f'(x))为函数(f(x))的导函数，且((x-cfrac{3}{2})cdot f'(x)<0)，若(x_1<x_2)，且(x_1+x_2>3)，则有【】
分析：由((x-cfrac{3}{2})cdot f'(x)<0)，得到当(x>cfrac{3}{2})时，必有(f'(x)<0)，当(x<cfrac{3}{2})时，必有(f'(x)>0)，
即(xin (cfrac{3}{2}，+infty))时，(f'(x)<0)，函数(f(x))单调递减，
(xin (-infty，cfrac{3}{2}))时，(f'(x)>0)，函数(f(x))单调递增，
又由(f(3-x)=f(x))得到函数的对称轴为(x=cfrac{3}{2})，
在利用(x_1<x_2)，(x_1+x_2>3)这一条件时，可以先考虑其临界状态以降低难度，
令(x_1+x_2=3)，则(x_1)和(x_2)到对称轴等距离，则必有(f(x_1)=f(x_2))，
那么当(x_1<x_2)，(x_1+x_2>3)时，必有(x_1)，(x_2)分布在对称轴的两侧，且(x_2)距离对称轴更远，
故有(f(x_1)>f(x_2))，故选(A)。
分析：如果想不清楚，那么我们将原题目改为((|x|- 1)^2+(|y|-1)^2=4)，故其临界状态为圆上；而原题中是((|x|- 1)^2+(|y|-1)^2leq 4)，故应该是与圆的内部有关的。又由于题目中含有绝对值，故需要分类讨论去掉绝对值符号，这样问题就转化为可行域问题了，当然是非线性的可行域。
想清楚这些后，我们就能顺利做出如下的转化：
原不等式(Leftrightarrow)
(left{egin{array}{l}{xge 0}\{yge 0}\{(x-1)^2+(y-1)^2leq 4}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{xge 0}\{y< 0}\{(x-1)^2+(-y-1)^2leq 4}end{array} ight.)
或(left{egin{array}{l}{x< 0}\{yge 0}\{(-x-1)^2+(y-1)^2leq 4}end{array} ight.) 或(left{egin{array}{l}{x< 0}\{y< 0}\{(-x-1)^2+(-y-1)^2leq 4}end{array} ight.)
这样即使用手工作图，我们也能做出来如下的图形来的。
分析：为便于计算，设正六边形(ABCDEF)的边长为(2)，则(FN=1)，(NE=sqrt{3})；接下来思考反射光线和线段(BC)相交的临界状态；
反射光线与线段(BC)相交的两个临界状态其一为过点(B)，其二为过点(C)；
当反射光线经过点(B)时，入射点为(G)，设(EG=x)，则由(angle NGM=angle MGB)，则(tanangle NGM=cfrac{x}{sqrt{3}})，(tanangle MGB=cfrac{2-x}{2sqrt{3}})，
则有(cfrac{x}{sqrt{3}}=cfrac{2-x}{2sqrt{3}})，即(cfrac{2-x}{x}=cfrac{2sqrt{3}}{sqrt{3}})，利用和比性质得到，(cfrac{2-x+x}{x}=cfrac{2sqrt{3}+sqrt{3}}{sqrt{3}})，
即(cfrac{2}{x}=cfrac{3sqrt{3}}{sqrt{3}})，则(x=cfrac{2}{3})；
当反射光线经过点(C)时，入射点为(G)，设(EG=y)，则由(angle NGM=angle MGC)，则(tanangle NGM=cfrac{y}{sqrt{3}})，(tanangle MGC=cfrac{3-y}{sqrt{3}})，
即(cfrac{y}{sqrt{3}}=cfrac{3-y}{sqrt{3}})，解得(y=cfrac{3}{2})；
故反射光线和线段(BC)相交时对应到线段(DE)上的长度为(cfrac{3}{2}-cfrac{2}{3}=cfrac{5}{6})；由长度型几何概型可知，所求概率为(P=cfrac{frac{5}{6}}{2}=cfrac{5}{12})。
分析：已知函数(f(x)=x^2lnx+kx-1)有零点，即方程(f(x)=0)在定义域((0，+infty))上有解，
分离参数得到(k=cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+cfrac{1}{x})，令(h(x)=xlnx+cfrac{1}{x})，
则题目转化为(k=h(x))在((0，+infty))上有解，故要么从数的角度求函数(h(x))的值域；要么求其单调性，做函数的图像，从形的角度用数形结合求解。
以下用导数求函数(h(x))的单调性。(h'(x)=lnx+1-cfrac{1}{x^2})，
此时需要注意，导函数中出现了(lnx)，故我们将上述的函数人为的分为两个部分，(y=lnx)和(y=1-cfrac{1}{x^2})，先令(lnx=0)得到(x=1)，在将(x=1)代入(y=1-cfrac{1}{x^2})验证也是其零点，说明这两个函数的零点重合，故接下来我们将定义域分为((0，1))和((1，+infty))两部分分类讨论即可：
则(0<x<1)时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，(x>1)时，(h'(x)>0)，(f(x))单调递增，则(h(x)_{min}=h(1)=1)。
即(h(x))的值域为([1，+infty))，故(kge 1)，即(kin [1，+infty))。
或利用单调性得到函数(h(x))的图像如下，
再利用函数(y=k)和函数(y=h(x))的图像有交点，得到(k)的取值范围为(kin [1，+infty))。
分析：两个函数的图像只有一个交点，即方程(x^2=a^x)只有一个根，
法1：利用两个函数的图像，尤其是(y=a^x)的动态图形来说明问题；曲线和曲线相切；
当(a>1)时，函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第一象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数(a)的值；设两条曲线相切时的切点为(P(x_0，y_0))，
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知，$x_0^2=a^{x_0} ④ $，代入①得到，(2x_0=x_0^2cdot lna)，化简得到(2=x_0cdot lna ⑤)，
又由④两边取对数得到，(2lnx_0=x_0cdot lna⑥)，由⑤⑥得到，(2lnx_0=2)，解得(x_0=e)，代入②得到(y_0=e^2)，
再代入③得到，(e^2=a^e)，两边取对数得到，(lna=cfrac{2}{e})，则(a=e^{frac{2}{e}})，
即两条曲线相切时的(a=e^{frac{2}{e}})，则(a>e^{frac{2}{e}})时，两条曲线必然只有一个交点。
当(0<a<1)时，函数(y=x^2)与函数(y=a^x)有两个交点的临界位置是在第二象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数(a)的值；设两条曲线相切时的切点为(P(x_0，y_0))，
则有(left{egin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}cdot lna ① }\{y_0=x_0^2 ② }\{y_0=a^{x_0} ③ }end{array} ight.)
由②③可知，$x_0^2=a^{x_0} ④ $，代入①得到，(2x_0=x_0^2cdot lna)，化简得到(2=x_0cdot lna ⑤)，
又由④两边取对数得到，(2ln|x_0|=x_0cdot lna⑥)，由⑤⑥得到，(2ln|x_0|=2)，解得(x_0=-e)，代入②得到(y_0=e^2)，
再代入③得到，(e^2=a^{-e})，两边取对数得到，(-lna=cfrac{2}{e})，则(a=e^{-frac{2}{e}})，
即两条曲线相切时的(a=e^{-frac{2}{e}})，则(0<a<e^{-frac{2}{e}})时，两条曲线必然只有一个交点。
综上所述，(ain(0，e^{-frac{2}{e}}))，或者(ain (e^{frac{2}{e}}，+infty))，故选(C).
法2：分离参数得到，(lnx^2=xlna)，再变形为(lna=cfrac{2ln|x|}{x})，令(h(x)=cfrac{2ln|x|}{x})，重点是作其图像；
由于(h(x))是奇函数，故当(x>0)时，(h(x)=cfrac{2lnx}{x})，以下用导数研究其单调性；
(h'(x)=cdots=cfrac{2(1-lnx)}{x^2})，则(xin (0，e))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增；则(xin (e，+infty))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减；又(h(e)=cfrac{2}{e})，故可以做出(x>0)时的(h(x))图像以及(x<0)时的(h(x))图像，如下图所示；
由图可知，(lna>cfrac{2}{e})或(lna<-cfrac{2}{e})时，两个函数图像仅有一个交点，
解得(ain(0，e^{-frac{2}{e}}))，或者(ain (e^{frac{2}{e}}，+infty))，故选(C).