涂色问题

前言

处理策略

典例剖析

例1给一个各边不等的凸五边形的各边涂色，每边可以涂红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？

分析：将凸五边形的各边依次编号为①②③④⑤，

(1^{circ})，当①③用同种颜色时，则①有3种颜色，②有2种颜色，③有1种颜色，④有2种颜色，⑤有1种颜色，

故(N_1=3 imes 2 imes 1 imes 2 imes1=12)种；

(2^{circ})，当①③用不同颜色时，则①有3种颜色，②有2种颜色，③有1种颜色，

此时若①④同色，则④有1种颜色，⑤有2种颜色，

此时若①④不同色，则④有1种颜色，⑤有1种颜色，

故(N_2=3 imes 2 imes 1 imes( 1 imes 2+1 imes1)=18)种；

综上，共有(N=12+18=30)种；

例2【2018安徽合肥三模】如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为【】

$A.24$ $B.48$ $C.96$ $D.120$

解析：此类题目一般都需要用到分类讨论，不妨取红、黄、蓝、白四种颜色，

若(A)，(D)颜色相同，先涂(E)有4种涂法(红、黄、蓝、白；不妨选红)，再涂(A)和(D)有3种涂法(黄、蓝、白；不妨选黄)，再涂(B)有2种涂法(蓝、白；不妨选蓝)，(C)只有1种涂法(白)，共有(4×3×2×1＝24)(种)；

若(A)，(D)颜色不同，先涂(E)有4种涂法(红、黄、蓝、白；不妨选红)，再涂(A)有3种涂法(黄、蓝、白；不妨选黄)，再涂(D)有2种涂法(蓝、白；不妨选蓝)，

此时当(B)和(D)相同时，(C)有2种涂法，

当(B)和(D)不同时，(B)，(C)只有1种涂法，

共有(4×3×2×(2＋1)＝72)(种)，

根据分类加法计数原理可得，共有(24＋72＝96)(种)，故选(C).

法2：先涂(A)有(C_4^1)种，涂(B)有(C_3^1)种，涂(E)有(C_2^1)种，涂(D)有(C_2^1)种，涂(C)有(C_2^1)种，故有(C_4^1cdot C_3^1cdot C_2^1cdot C_2^1cdot C_2^1=96)种。

例3【北师大版选修2-3(P_{22}B)组第2题】

将3种作物种植在5块如图的试验田中，每块试验田种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，则共有多少种不同的种植方法？

法1：

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