均值不等式使用变化

前言

需要将题目中的常数作以代换，以便于更好的使用均值不等式。

一、案例说明

例1【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第16题】

已知三角形的内角(A、B、C)所对的对边分别是(a、b、c)，若(a=sqrt{2})，(b^2-c^2=6)，则角(A)最大时，三角形(ABC)的面积为_________。

分析：由(cosA=cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=cfrac{b^2+c^2-2}{2bc}=cfrac{b^2+c^2-cfrac{b^2-c^2}{3}}{2bc}=cfrac{b^2+2c^2}{3bc}ge cfrac{2sqrt{2}}{3})，

即(cosA)的最小值为(cfrac{2sqrt{2}}{3})，当且仅当(b=sqrt{2}c)且(b^2-c^2=6)，即(b=2sqrt{3})，(c=sqrt{6})时取到等号；

此时(A)取到最大值，(sinA=cfrac{1}{3})，

故(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}bcsinA=cfrac{1}{2} imes 2sqrt{3} imes sqrt{6} imes cfrac{1}{3}=sqrt{2})。

反思：①常数代换，由(2=cfrac{6}{3}=cfrac{b^2-c^2}{3})，之所以做常数代换，是为了整理后便于使用均值不等式求(cosA)的最值。

②教师备用，也可以这样考虑，(cosA=cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc})，即(f(c)=cfrac{2c^2+4}{2sqrt{c^2+6}c}(c>0))，求函数(f(c))的最小值，如果想运算简单，还可以考虑求(f(c)^2=cfrac{(2c^2+4)^2}{4(c^2+6)c^2}(c>0))的最小值。

例2【2019届宝鸡市高三理科数学二轮资料用题】【2018江西南昌二模】

在三角形( riangle ABC)中，(A=cfrac{pi}{6})，(S_{ riangle ABC}=2)，则(cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+cfrac{sinB}{sinC})的最小值为【】

$A.cfrac{sqrt{3}}{2}$ $B.cfrac{3sqrt{3}}{4}$ $C.cfrac{3}{2}$ $D.cfrac{5}{3}$

分析：由题目易知(bc=8)，又所求可以用角化边转化为(cfrac{2sinC}{sinC+2sinB}+cfrac{sinB}{sinC}=cfrac{2c}{c+2b}+cfrac{b}{c})；

法1：接下来，可以考虑(b=cfrac{8}{c})，代入上式，将二元函数转化为一元函数，但尝试后思路卡壳，故思维需要转向；

法2：令(cfrac{b}{c}=t)，原式=(cfrac{2c}{c+2b}+cfrac{b}{c}=cfrac{2}{1+2cdot frac{b}{c}}+cfrac{b}{c})，

(=cfrac{2}{1+2t}+t=cfrac{2}{1+2t}+cfrac{1}{2}(1+2t)-cfrac{1}{2})

(=cfrac{2}{1+2t}+cfrac{1+2t}{2}-cfrac{1}{2}ge 2-cfrac{1}{2}=cfrac{3}{2})

当且仅当(cfrac{2}{1+2t}=cfrac{1+2t}{2})，即(t=cfrac{1}{2})时，即(b=2)，(c=4)时取到等号；

法3：为能用上(bc=8)，需要将表达式做相应的变形，且(c^2=cfrac{64}{b^2})

原式=(cfrac{2c}{c+2b}+cfrac{b}{c}=cfrac{2bc}{b(c+2b)}+cfrac{bc}{c^2})

(=cfrac{2 imes 8}{8+2b^2}+cfrac{8}{c^2}==cfrac{16}{8+2b^2}+cfrac{b^2}{8})

(=cfrac{8}{4+b^2}+cfrac{b^2}{8}=cfrac{8}{4+b^2}+cfrac{b^2+4}{8}-cfrac{1}{2})

(ge 2sqrt{cfrac{8}{4+b^2}cdot cfrac{4+b^2}{8}}-cfrac{1}{2}=2-cfrac{1}{2}=cfrac{3}{2})

当且仅当(b=2)，(c=4)时取到等号，故所求的最小值为(cfrac{3}{2})，故选(C)。

例3已知(f(n)=cfrac{1}{n}+cfrac{9}{6-n})，(nin N^*)，求(f(n))的最小值和最小值点。

分析：当(n=2)时，(f(n)_{min}=2.75). 均值不等式使用的另外一个[走向]