有关几何体中的最值

前言

典例剖析

例1【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知某圆台如图所示，它的上、下底面的直径分别为(2)和(4)，母线长为(2)，(A)为一母线的中点，(B)为过点(A)的轴截面截得的另一条母线与底面的交点，则在圆台侧面上从点(A)到点(B)的最短距离为【】

$A.4$ $B.5$ $C.6$ $D.7$

分析：由于上底面半径为(1)，上底面的周长为(2pi)，又由题可知上底面对应圆锥的母线长也为(2)，故圆锥展开图为半圆，

将此圆台沿着过点(A)和(B)的轴截面切开，得到如右图所示的平面图，由平面内两点间的距离中线段最短可知，从点(A)到点(B)的最短距离即线段(AB)的长；

连结(AB)，则在( riangle AOB)中，(OA=3)，(OB=4)，则(AB=5)，故选(B)。

例2【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】有一个长方体木块，三个侧面积分别为(8)，(12)，(24)，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为【】

$A.2$ $B.2sqrt{2}$ $C.4$ $D.4sqrt{2}$

分析：设长方体的长宽高分别为(x)，(y)，(z)，则由题可知有(left{egin{array}{l}{xy=8①}\{yz=12②}\{xz=24③}end{array} ight.)，三式相乘得到(x^2y^2z^2=48^2④)，

用④式分别除以①②③式，得到(x=4)，(y=2)，(z=6)，要想削成一个正四面体，

需要先取其最小棱的长度作为基础，首先得到棱长为(2)的正方体，然后由正方体切削成正四面体，

此时正四面体的棱长为该正方体的面对角线，故正四面体的棱长的最大值为(2sqrt{2})。

例3【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的最长棱的长度是【】

$A.2sqrt{2}$ $B.3$ $C.4$ $D.sqrt{7}$

分析：做出其直观图，如右图所示，则最长棱为(AC=2sqrt{2})，故选(A).