配凑法

前言

配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。

使用场景

• 为了将分式函数化简，使用配凑法；

• 为了使用均值不等式，使用配凑法；

典例剖析

例1【配凑和为定值，为使用均值不等式】已知(x，y>0)，(2x+3y=4)，求(xy)的最大值；

法1：(xy=cfrac{6xy}{6}=cfrac{(2x)cdot (3y)}{6}leq cfrac{1}{6}cdot Big(cfrac{2x+3y}{2}Big)^2=cfrac{2}{3})

当且仅当

法2：代换法，变量集中。

例2【配凑为消去一部分分母，便于使用均值不等式】已知(a>1，b>0， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b})的最小值。

分析：由于(a+b=4Longrightarrow (a-1)+b=3)，

故(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b}=cfrac{1}{3}(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b}) imes 3) (=cfrac{1}{3}(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b}) imes [(a-1)+b])

(=cfrac{1}{3}(1+4+cfrac{b}{a-1}+cfrac{4(a-1)}{b})geqslant cfrac{1}{3}(5+2sqrt{4})=3)，

当且仅当

例3【】研究函数(f(x)=cfrac{x^2}{3-x})的图像或者单调性，

分析：

①[配凑法]变形，(cfrac{x^2}{3-x}=-cfrac{x^2}{x-3}=-cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3})(=-(x-3)-cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-cfrac{9}{x-3}-6)(=-[(x-3)+cfrac{9}{x-3}]-6)；

其图像可以借助(f(x)=x+cfrac{9}{x})的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；

②[换元法]变形，令(3-x=t)，则(x=3-t)，则(f(x)=cfrac{x^2}{3-x}=cfrac{(3-t)^2}{t})(=cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+cfrac{9}{t}-6=(3-x)+cfrac{9}{3-x}-6)(=-[(x-3)+cfrac{9}{x-3}]-6)；

③也可以使用导数法研究，但是和上述方法[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质]相比，感觉繁琐，

例4已知函数(f(x))满足条件 (f(sqrt{x}+1)=x+2sqrt{x})，求(f(x))的解析式；

分析： (f(sqrt{x}+1)=x+2sqrt{x}=(sqrt{x}+1)^2-1)，

注意右端需要配凑出以(sqrt{x}+1)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令(sqrt{x}+1=t)，则新元(tge 1)

故解析式为(f(t)=t^2-1(tge 1))，再将自变量替换为我们适应的(x)，

则所求的解析式为(f(x)=x^2-1(xge 1))。

解后反思：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。