整合与拆分

前言

整合与拆分是高中数学中一种比较常见的变形技巧，既是一种数学能力和数学素养，也是数学创新和数学应用意识的一种外在体现。其本质应该归属于数学转化划归思想中。下文以案例具体加以说明。

本博文适合高三和高四的数学功底比较好的学生阅读。高一和高二学生请暂时掠过。

相关阅读能合二为一或一分为二的数学素材；

函数与方程

比如求函数零点时，对函数的有效拆分或者整合。

引例【需要拆分】函数(y=2^x|log_{0.5}x|-1)的零点个数是__________个。

分析：求解函数的零点个数的思路和方法有三个：

①解方程法；②数形结合法；③零点存在性定理法；本题目适合使用方法②；

由函数零点的定义，得到表达式(2^x|log_{0.5}x|-1=0)，接下来的两种不同的拆分方式：

①(2^x|log_{0.5}x|=1)，不好，左边的函数图像不容易作；

②(|log_{0.5}x|=cfrac{1}{2^x}=(cfrac{1}{2})^x)，好，左右两端的函数的图像都能顺利做出；

由图像可知，两个函数的图像的交点有(2)个，故原函数的零点个数是(2)个。

例2已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{0,xleqslant 0}\{e^x,x>0}end{array} ight.)，则使得函数(g(x)=f(x)+x-m)有零点的实数(m)的取值范围是【】

$A.[0,1)$ $B.(-infty,1)$ $C.(-infty,1]cup[2,+infty)$ $D.(-infty,0]cup(1,+infty)$

分析：本题目肯定会用到数形结合的方法思路。难点是函数的拆分。

法1：拆分为(h(x)=left{egin{array}{l}{x,xleqslant 0}\{e^x+x,x>0}end{array} ight.=m)，做出示意图如下，

由图可知，(min (-infty,0]cup(1,+infty))

法2：拆分为(f(x)=-x+m)，做出示意图如下，

由图可知，(min (-infty,0]cup(1,+infty))

解后反思：法1的难点是函数(h(x))图像的做法；法2的难点是利用直线(y=-x+m)的(m)的几何意义确定其值的范围；

例3【2018大同联考】【需要整合】设函数(y_1=x^3)与(y_2=(cfrac{1}{2})^{x-2})的图像的交点为((x_0，y_0))，若(x_0in (n，n+1))，(nin N^*)，则(x_0)所在的区间是___________。

分析：这类题目一般需要用到拆分，但本题目需要用到整合，通过做差构造函数，

令(f(x)=x^3-(cfrac{1}{2})^{x-2})，函数的定义域为(R)，且为增函数，

又由于(f(1)=-1<0)，(f(2)=7>0)，故(x_0)所在的区间为((1,2)).

复合函数

引例1：研究函数(y=(cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1})的单调性时，拆分为(y=(cfrac{1}{2})^u)和(u=2x^2+3x-1)两个函数，则其单调性就好研究；

引例2：研究函数(y=5^{1-|x-2|})的单调性时，拆分为(y=5^u)和(u=1-|x-2|)两个函数，则其单调性就好研究；

三角函数

角的拆分和整合

((cfrac{pi}{4}+ heta)+(cfrac{pi}{4}- heta)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{3}+ heta)+(cfrac{pi}{6}- heta)=cfrac{pi}{2})；

(2xpmcfrac{pi}{2}=2(xpmcfrac{pi}{4}))；(2alphapmcfrac{pi}{3}=2(alphapmcfrac{pi}{6}))；

• 常见的配角技巧：

(2alpha=(alpha+eta)+(alpha-eta))；(2eta=(alpha+eta)-(alpha-eta))；

(alpha=(alpha+eta)-eta)；(eta=alpha-(alpha-eta))；

(alpha=cfrac{alpha+eta}{2}+cfrac{alpha-eta}{2})；(eta=cfrac{alpha+eta}{2}-cfrac{alpha-eta}{2})；

(alpha=(alpha+eta)-eta)；((cfrac{pi}{6}-alpha)+(cfrac{pi}{3}+alpha)=cfrac{pi}{2})；((cfrac{pi}{4}-alpha)+(cfrac{pi}{4}+alpha)=cfrac{pi}{2})；

((cfrac{pi}{3}-alpha)+(cfrac{2pi}{3}+alpha)=pi)；((cfrac{pi}{4}-alpha)+(cfrac{3pi}{4}+alpha)=pi)；

(sin(alpha-eta)cdot coseta+cos(alpha-eta)cdot sineta=cfrac{1}{3})，即整合为(sin[(alpha-eta)+eta]=sinalpha=cfrac{1}{3})；

(1+sin heta+cos heta=1+cos heta+sin heta=2cos^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2}))

(1+sin heta-cos heta=1-cos heta+sin heta=2sin^2cfrac{ heta}{2}+2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2sincfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}+sincfrac{ heta}{2}))

(1-sin heta+cos heta=1+cos heta-sin heta=2cos^2cfrac{ heta}{2}-2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2coscfrac{ heta}{2}(coscfrac{ heta}{2}-sincfrac{ heta}{2}))

(1-sin heta-cos heta=1-cos heta-sin heta=2sin^2cfrac{ heta}{2}-2sincfrac{ heta}{2}coscfrac{ heta}{2}=2sincfrac{ heta}{2}(sincfrac{ heta}{2}-coscfrac{ heta}{2}))

分离参数

• 分离参数时，尽可能的使函数形式简单，这样求导数判断单调性就简单些，而参数形式复杂些或者简单些都无所谓，

第21题【2018年宝鸡市三检理科数学第21题】【已知函数无零点，求参数的取值范围或最值】已知函数(f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a)，(g(x)=cfrac{ex}{e^x})，

(1)若函数(f(x))在区间((0，cfrac{1}{2}))上无零点，求实数(a)的最小值。

【法1】(分离参数，参数形式简单，函数复杂)

碰到这类问题，我们的第一反应往往是分离参数，然后数形结合求解，但是这个方法不见得是很恰当和很灵活的。

先变形为(a(1-x)=2+2lnx-2x)，再分离参数为(a=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，其中(xin (0，cfrac{1}{2}))，

令函数(h(x)=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，接下来用导数研究单调性，准备做函数的大值图像，

(h'(x)=cfrac{(cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=cfrac{2lnx+cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2})

暂时没法看透(h'(x))的正负值，也无法判断原函数(h(x))的增减性，

故再设(h'(x))的分子函数为(m(x)=2lnx+cfrac{2}{x}-2)，

(m'(x)=cfrac{2}{x}-cfrac{2}{x^2}=cfrac{2x-2}{x^2})，

由于(0< x <cfrac{1}{2})，故(m'(x) <0)，即(m(x))单调递减，

故函数(m(x))的最小值的极限为(m(cfrac{1}{2})=2lncfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0)

编外话：由分子函数(m(x))的最小值的极限为正，说明函数(h'(x))的分子都为正，

故(h'(x)=cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0)，故函数(h(x))在(xin (0，cfrac{1}{2}))上单调递增，

故(h(x))的最大值的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{2+2lncfrac{1}{2}-2 imescfrac{1}{2}}{1-cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2))

要使直线(y=a)与函数(y=h(x)(0< x <cfrac{1}{2}))没有交点，

则(a)的取值范围是(age 2(1-2ln2))，故(a_{min}=2-4ln2)。

【法2】(分离参数，参数形式复杂，函数简单)

将原方程((2-a)x-2(1+lnx)+a=0)，先变形为((2-a)x+(a-2)-2lnx=0)，再变形为(cfrac{2-a}{2}=cfrac{lnx}{x-1})，

令(h(x)=cfrac{lnx}{x-1})，

则(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=cfrac{1-cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2})

令(m(x)=1-cfrac{1}{x}-lnx)，

则(m'(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1-x}{x^2}>0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

故函数(m(x))在((0，cfrac{1}{2}))单调递增，

故(m(x)_{max})的极限为(m(cfrac{1}{2})=1-2-lncfrac{1}{2}=ln2-1<0)

则函数(h'(x)=cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

函数(h(x))在((0，cfrac{1}{2}))上单调递减，

则(h(x)_{min})的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{lncfrac{1}{2}}{cfrac{1}{2}-1}=2ln2)

要使得原方程无解，必须满足函数(y=cfrac{2-a}{2})与函数(y=h(x))没有交点，

即(cfrac{2-a}{2}leq 2ln2)，即(age 2-4ln2)

故(a_{min}=2-4ln2)。

数列变形

例11已知正项数列({a_n})的(a_1=1)，((n+1)a_{n+1}-na_n=0)，求数列的通项公式。

法1：整体思想，由已知容易知道数列({na_n})是首项为1，公差为0的等差数列，

故(na_n=1+(n-1)cdot 0)，即(a_n=cfrac{1}{n}(nin N^*))。

法2：累乘法，拆分变形为(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{n}{n+1})，由此式子可得到

[cfrac{a_n}{a_{n-1}}=cfrac{n-1}{n}， ]

[cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}=cfrac{n-2}{n-1}， ]

[cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}=cfrac{n-3}{n-2}， ]

[cdots，cdots， ]

[cfrac{a_2}{a_1}=cfrac{1}{2}， ]

以上(n-1)个式子相乘得到，当(nge 2)时，

(cfrac{a_n}{a_{n-1}}cdot cfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}}cdot cfrac{a_{n-2}}{a_{n-3}}cdot cdots cfrac{a_2}{a_1}=cfrac{n-1}{n} cdot cfrac{n-2}{n-1} cdotcfrac{n-3}{n-2}cdot cdotscfrac{1}{2})，

即(cfrac{a_n}{a_1}=cfrac{1}{n})，故(a_n=cfrac{1}{n}(nge 2))，

当(n=1)时，(a_1=1)满足上式，故所求通项公式(a_n=cfrac{1}{n}(nin N^*))。

例11比如针对差比数列求和时，需要将其拆分为等差数列和等比数列。

• 如已知(a_n=(2n-1)cdot 2^n)，求数列({a_n})的前(n)项和时，需要将其两个因子数列拆分为等差数列(b_n=2n-1)和等比数列(c_n=2^n)，以便于利用错位求和法求和。

例11如数列求和：(S=2^1+2^3+2^5+cdots+2^{2n+3})；

其项数的计算，将其上标拆分出来计算，其上标刚好成等差数列，

故项数(r=cfrac{a_n-a_1}{d}+1=cfrac{(2n+3)-1}{3-1}+1=n+2)；

则(S=cfrac{2cdot (4^{n+2}-1)}{4-1}=cfrac{2}{3}(4^{n+2}-1))。

例4【2012新课标1卷第16题】已知数列(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)，求(S_{60})的值。

法1：并项求和法[此法运算和思维成本最小]，由于题目中有(n)次方，故针对(n)分奇偶讨论如下：

①当(n)为奇数时，则(n+1)为偶数，

由题目可知(a_{n+1}-a_n=2n-1)，则(a_{n+2}+a_{n+1}=2n+1)^[1]

[解释：(a_{(n+1)+1}+(-1)^{n+1}a_{n+1}=2(n+1)-1)]

两式相减，得到(a_{n+2}+a_n=2)，即从(a_1)开始，相邻两个奇数项为等和数列；

即(a_1+a_3=2)，(a_5+a_7=2)，(a_9+a_{11}=2)，(cdots)，(a_{57}+a_{59}=2)，

故前(60)项中的所有奇数项之和为

(S_{奇}=(a_1+a_3)+(a_5+a_7)+cdots+(a_{57}+a_{59})=15 imes 2=30)；

②当(n)为偶数时，则(n+1)为奇数，

由题目可知(a_{n+1}+a_n=2n-1)，则(a_{n+2}-a_{n+1}=2n+1)[原因同上]，

两式相加，得到(a_{n+2}+a_n=4n)，即每相邻两偶数项之和为等差数列；

故前(60)项中的所有偶数项之和为

(S_{偶}=(a_2+a_4)+(a_6+a_8)+cdots+(a_{58}+a_{60}))

(=4 imes 2+4 imes 6+4 imes 10+cdots+4 imes 58)

(=4(2+6+10+cdots+58))

(=4 imescfrac{(2+58) imes 15}{2}=1800)；

故(S_{60}=1800+30=1830)。

思路2[摘编自网络，学习变形]：从特殊到一般，

对于给出的递推数列，在没有找到更好方法之前，通常可以用特殊值法开路，写出前几项，先归纳，再猜想一般的规律。

设(a_1=a)，由递推公式(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)，

分别令(n=1,2,3,4,cdots)，则有

(a_2=1+a)，(a_3=2-a)，(a_4=7-a)，(a_5=a)，

(a_6=9+a)，(a_7=2-a)，(a_8=15-a)，(a_9=a)，(cdots)，

于是可知，(a_{4k-3}=a)，(a_{4k-2}=a+(8k-7))，(a_{4k-1}=2-a)，(a_{4k}=-a+(8k-1))，^[2]

所以，(a_{4k-3}+a_{4k-2}+a_{4k-1}+a_{4k}=16k-6)，

可知每连续四项之和成等差数列，

则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

思路3[摘编自网络，学习变形]：分类讨论，

本题目的难点在于((-1)^n)，于是对其分类讨论，并进行适当的构造以及并项。

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

于是(a_{4k}+a_{4k-1}+a_{4k-2}+a_{4k-3}=(a_{4k}-a_{4k-1})+2(a_{4k-1}+a_{4k-2})-(a_{4k-2}-a_{4k-3}))^[3]

(=[2(4k-1)-1]+2[2(4k-2)-1]-[2(4k-3)-1]=16k-6)，

可知每连续四项之和成等差数列，

则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

思路4[摘编自网络，学习变形]：利用迭代法，

对于给出的递推数列问题，应该关注三个技巧----迭加、迭乘、迭代。特别是迭代法，它是直接反复利用递推公式而进行迭代，可以直接运用，从而使得问题得以解决。

由(a_{n+1}+(-1)^ncdot a_n=2n-1)得到[用(n+1)替换左式中的(n)]，(a_{n+2}+(-1)^{n+1}cdot a_{n+1}=2(n+1)-1)，

则(a_{n+2}=-(-1)^{n+1}cdot a_{n+1}+2n+1)，

(=(-1)^{n}cdot a_{n+1}+2n+1) [将已知式改写为(a_{n+1}=(-1)^{n+1}a_n+2n-1)，代入左式，得到下式]

(=(-1)^n[(-1)^{n+1}a_n+2n-1]+2n+1)

(=-a_n+(-1)^{n}(2n-1)+2n+1)

即(a_{n+2}+a_n=(-1)^{n}(2n-1)+2n+1)

也有(a_{n+3}+a_{n+1}=-(-1)^{n}(2n+1)+2n+3)[让上式中(n+1 ightarrow n)得到]

两式相加得到(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=-2(-1)^n+4n+4)，

设(k)为整数[或令(n=4k+1)]，则

(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}=-2(-1)^{4k+1}+4(4k+1)+4=16k+10)

于是(S_{60}=sumlimits_{k=0}^{14}{(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4})})^[4]

(=sumlimits_{k=0}^{14}{(16k+10)}=(16 imes 0+10)+(16 imes 1+10)+(16 imes 2+10)+cdots+(16 imes 14+10))

(=16 imes cfrac{(0+14) imes 15}{2}+150=1830)

思路5[摘编自网络，学习变形]：构造子数列法，

({a_n})既不是等差数列也不是等比数列，但是可以发现其子数列({a_{4k}})，({a_{4k-1}})，({a_{4k-2}})，({a_{4k-3}})是等差数列，于是可对数列({a_n})分项击破，

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

由(a_{4k+2}-a_{4k-2}=(a_{4k+2}-a_{4k+1})+(a_{4k+1}+a_{4k})-(a_{4k}-a_{4k-1})-(a_{4k-1}+a_{4k-2}))，^[5]

[此处用(a_{4k+2}-a_{4k-2})，是为了求公差；由于前一项为(a_{4k-2})，则其后一项为(a_{4(k+1)-1}=a_{4k+2})；同时紧接着的变形既要保证恒等变形还要有效利用上述条件]；

(=[2(4k+1)-1]+(2 imes 4k-1)-[2(4k-1)-1]-[2(4k-2)-1]=8)，

故数列(a_{4k-2})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_2)，所以(a_{4k-2}=a_2+(k-1)8)；

由(a_{4k+4}-a_{4k}=(a_{4k+4}-a_{4k+3})+(a_{4k+3}+a_{4k+2})-(a_{4k+2}-a_{4k+1})-(a_{4k+1}+a_{4k}))，^[6]

[此处用(a_{4k+4}-a_{4k})，是为了求公差；由于前一项为(a_{4k})，则其后一项为(a_{4(k+1)}=a_{4k+4})；同时紧接着的变形既要保证恒等变形还要有效利用上述条件]；

(=[2(4k+3)-1]+[2(4k+2)-1)-[2(4k+1)-1]-[2 imes 4k-1]=8)，

故数列(a_{4k})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_4)，所以(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；^[7]

同理，(a_{4k+1}-a_{4k-3}=0)，故数列({a_{4k-3}})是常数列，故(a_{4k-3}=a_1)；

(a_{4k+3}-a_{4k-1}=0)，故数列({a_{4k-1}})是常数列，故(a_{4k-1}=a_3)；

又(a_1+a_2+a_3+a_4=(a_4-a_3)+2(a_3+a_2)-(a_2-a_1))

(=(2 imes 3-1)+2(2 imes 2-1)-(2 imes 1-1)=5+6-1=10);

于是({a_n})的前(60)项的和(S_{60})为

(S_{60}=(a_1+a_5+a_9+cdots+a_{57})+(a_2+a_6+a_{10}+cdots+a_{58}))^[8]

(+(a_3+a_7+a_{11}+cdots+a_{59})+(a_4+a_8+a_{12}+cdots+a_{60}))

(=15a_1+(15a_2+840)+15a_3+(15a_4+840))

(=15(a_1+a_2+a_3+a_4)+1680=1830)

思路6[摘编自网络，学习变形]：构造等差数列法，

由上述解法不难看出，本题目的实质是连续四项的和成等差数列，故还可以如下求解：

当(n)为奇数时，(a_{n+1}-a_n=2n-1)；

当(n)为偶数时，(a_{n+1}+a_n=2n-1)；

由(a_{4k+2}-a_{4k-2}=(a_{4k+2}-a_{4k+1})+(a_{4k+1}-a_{4k})-(a_{4k}-a_{4k-1})-(a_{4k-1}+a_{4k-2}))，

(=[2(4k+1)-1]+(2 imes 4k-1)-[2(4k-1)-1]-[2(4k-2)-1]=8)，

故数列(a_{4k-2})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_2)，所以(a_{4k-2}=a_2+(k-1)8)；

由(a_{4k+4}-a_{4k}=(a_{4k+4}-a_{4k+3})+(a_{4k+3}+a_{4k+2})-(a_{4k+2}-a_{4k+1})-(a_{4k+1}+a_{4k}))，

(=[2(4k+3)-1]+[2(4k+2)-1)-[2(4k+1)-1]-[2 imes 4k-1]=8)，

故数列(a_{4k})是等差数列，公差为(8)，首项为(a_4)，所以(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；

同理，(a_{4k+1}-a_{4k-3}=0)，故数列({a_{4k-3}})是常数列，故(a_{4k-3}=a_1)；

(a_{4k+3}-a_{4k-1}=0)，故数列({a_{4k-1}})是常数列，故(a_{4k-1}=a_3)；

则数列(b_{n+1}=a_{4n+1}+a_{4n+2}+a_{4n+3}+a_{4n+4})

(=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n}+16=b_n+16)， ^[9]

即(b_{n+1}-b_n=16)，又(b_1=a_1+a_2+a_3+a_4=10)，

则数列({b_n})是首项为(10)，公差为(16)的等差数列，

则则(S_{60}=cfrac{15[10+(16 imes 15-6)]}{2}=1830)；

研究函数性质

• 例11[使用题目中的性质整合]已知(f(x)+f(y)=f(xy))，在求解(f(x)+f(2x-1)<f(3))时，需要将左端变形为(f(x)+f(2x-1)=f[x(2x-1)])

• 拆分，研究函数(f(x)=x+x^3)的单调性和奇偶性时，如果拆分为(y=x)和(y=x^3)，由这两个组成部分函数的单调性和奇偶性就容易得到，函数(f(x))为奇函数，且为(R)上的增函数；

• 拆分，研究函数(f(x)=e^{1+|x|}-cfrac{1}{1+x^2})的单调性和奇偶性时，如果拆分为(y=e^{1+|x|})和(y=-cfrac{1}{1+x^2})，由这两个组成部分函数的单调性和奇偶性就容易得到，函数(f(x))为偶函数，且在((-infty,0])上单调递减，在([0,+infty))上单调递增；

• 拆分，给定函数(f(x)=asinx+bsqrt[3]{x}+4)，已知(f(lg3)=3)，求(f(lgcfrac{1}{3}))时，如果能将函数变形为(f(x)-4=asinx+bsqrt[3]{x})，则可知函数(f(x)-4)为奇函数，就能容易求值。

导数法

• 用导数法判断函数的单调性时，比如(f'(x)=(2e^x+a)cdot (e^x-a))；

在作图时如果拆分为(h(x)=2e^x+a)和(g(x)=e^x-a)，在同一个坐标系中分别做出两个函数的图像，利用符号法则就可以知道(f'(x))的正负，从而可知原函数(f(x))的单调性；

• 已知函数(f(x)=cfrac{lnx+1}{e^x})，判断单调性；

(f'(x)=cfrac{frac{1}{x}-lnx-1}{e^x})，将分子拆分为(y=cfrac{1}{x}-1)和(y=-lnx)，其分界点为(x=1)。在同一个坐标系中分别做出两个函数的图像，利用符号法则就可以知道(f'(x))的正负，从而可知原函数(f(x))的单调性；

例6【2019南阳模拟】已知各项均为正数的等比数列({a_n})，(a_3cdot a_5=2)，若(f(x)=x)((x-a_1))((x-a_2))$cdots $$(x-a_7)(，则)f'(0)$=【】

$A.8sqrt{2}$ $B.-8sqrt{2}$ $C.128$ $D.-128$

分析：将原函数拆分为两部分，令(f(x)=xcdot g(x))，(g(x)=)((x-a_1))((x-a_2))$cdots $$(x-a_7)$，

则(f'(x)=g(x)+xcdot g'(x))，则(f'(0)=g(0)+0cdot g'(0)=g(0))，

(g(0)=)((0-a_1))((0-a_2))$cdots $$(0-a_7)=-a_1cdot a_2cdots a_7=-a_4^7$①，

又由于各项均为正数的等比数列({a_n})，(a_3cdot a_5=2)，则(a_4^2=2)，(a_4=sqrt{2})，

代入①式，得到(f'(0)=g(0)=-8sqrt{2})，故选(B)。

例7【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在( riangle ABC)中，内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，(AD)为(angle BAC)的平分线，且满足(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，(|overrightarrow{AD}|=sqrt{3})，若(4c+a=8)，求(a)，(b)，(c)的值；

分析：由(4overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+3overrightarrow{AB})，可得(3overrightarrow{AD}-3overrightarrow{AB}=overrightarrow{AC}-overrightarrow{AD})，

即(3overrightarrow{BD}=overrightarrow{DC})，即(|CD|=3|BD|)，又(4c+a=8)，

则(a=8-4c=|BC|)，(|BD|=cfrac{1}{4}|BC|=2-c)，(|CD|=6-2c)，

又由于(AD)为(angle BAC)的平分线，由角平分线定理可知，

(cfrac{BD}{CD}=cfrac{AB}{AC}=cfrac{1}{3})，故(|AC|=3c)，

在( riangle ABD)与( riangle ACD)中，分别对(angle BAD)和(angle DAC)用余弦定理可得，

(cfrac{3+c^2-(2-c)^2}{2 imes sqrt{3}c}=cfrac{3+(3c)^2-(6-3c)^2}{2 imes sqrt{3} imes 3c})

解得(c=cfrac{5}{4})，(b=cfrac{15}{4})，(a=3)。

解后反思：本题目需要特别注意向量系数的拆分技巧；

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1. ↩︎

2. 对数列的下标详细说明如下，
   所有正整数若除以(4)，就会分为四类，余数分别为(0)，(1)，(2)，(3)，
   我们可以将其表达为(4k)，(4k+1)，(4k+2)，(4k+3)，此时(kin N)；
   还可以这样表达为(4k-3)，(4k-2)，(4k-1)，(4k)，此时(kin N^*)；
   故(a_{4k-3})表达的是(a_1)，(a_5)，(a_9)，(cdots)，
   (a_{4k-2})表达的是(a_2)，(a_6)，(a_{10})，(cdots)，
   (a_{4k-1})表达的是(a_3)，(a_7)，(a_{11})，(cdots)，
   (a_{4k})表达的是(a_4)，(a_8)，(a_{12})，(cdots)， ↩︎

3. 上述变形很有特点，这样变形的目的，既要保证恒等变形，还要充分利用上述的条件；
   比如变形((a_{4k}-a_{4k-1}))意味着偶数项减去奇数项，即可以利用(a_{n+1}-a_n=2n-1)；
   故有((a_{4k}-a_{4k-1})=2(4k-1)-1)，其余都同理； ↩︎

4. 由于下标的表示形式，故求和时只能从(0 ightarrow 14)，不能是(1 ightarrow 15)，否则求和会丢掉前面的四项而多算了后面的四项。 ↩︎

5. ↩︎
6. ↩︎

7. 等差数列通项公式的拓展：(a_n=a_m+(n-m)d)；
   此处可以这样理解，数列的公差为(8)，首项为(a_4)，自然能写出(a_4+(k-1)8)，关键是和(a_{?})对应；
   我们知道这个数列的首项应该是(a_4)，故下标应该用(4k)来表达，故(a_{4k}=a_4+(k-1)8)；
   或者这样理解，从原来的母数列中间隔(4)项挑出来的项所组成的新数列的公差为(8)，那么回归到母数列里面，
   相当于原来母数列的公差为(2)[当然母数列不是等差数列]，这样(a_{4k}=a_4+(4k-4) imes 2=a_4+(k-1)8)；
   而不是(a_{4k}=a_4+(4k-4)8)；其他同理； ↩︎

8. 第二组子数列求和，首项是(a_2)，公差为(8)，项数为(15)项，故(S_{2}=15a_2+cfrac{15(15-1)}{2} imes 8=15a_2+840). ↩︎

9. 若(b_{n+1}=a_{4n+1}+a_{4n+2}+a_{4n+3}+a_{4n+4})，用(n-1)替换左式中的(n)，
   则得到(b_{n}=a_{4n-3}+a_{4n-2}+a_{4n-1}+a_{4n})，故有(b_{n+1}-b_n=16)， ↩︎