分类讨论的标准如何选择

前言

集合关系

题目中出现(Asubseteq B)时，常常意味着集合(A)有两种情形：(A=varnothing)和(A eq varnothing)。

(Asubseteq BLongleftrightarrow Acap B=A)；(Asubseteq BLongleftrightarrow Acup B=B)；

例1已知集合(A={xmid -2leq xleq 7})，集合(B={xmid m+1< x<2m-1 })，若(Bsubseteq A)，则实数(m)的取值范围是什么？

分析：集合(A)为定集，集合(B)为动集，又因为出现了条件(Bsubseteq A)，故需要针对集合(B)分类讨论如下：

1、当集合(B=varnothing)时，则有(m+1ge 2m-1)，解得(mleq 2)；

2、当集合(B eqvarnothing)时，必须满足三个条件，即 (left{egin{array}{l}{m+1< 2m-1}\{ -2 leq m+1}\{2m-1 leq7}end{array} ight.)，解得(2<mleq 4)；

综上所述：实数(m)的取值范围是({mmid mleq 4})。

仿二次函数

针对二次项系数分类讨论；

解不等式

尤其是二次不等式的求解中，常以两个根的大小分类讨论；

例1解关于(x)的不等式(x^2-(a^2+a)x+a^3leq 0)

分析：将原不等式等价转化为((x-a^2)(x-a)leq 0)，

其对应方程的两个根为(x=a^2)和(x=a)，分类讨论如下：

(1^{circ}) 当(a^2>a)，即(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；

(2^{circ}) 当(a^2=a)，即(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；

(3^{circ}) 当(a^2<a)，即(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

综上所述：

当(a<0)或(a>1)时，解集为([a，a^2])；

当(a=0)或(a=1)时，解集为({0，1})；

当(0<a<1)时，解集为([a^2，a])；

判断单调性

用导数判断函数的单调性时，常以恒正、恒负、正负夹杂三种来分类讨论；

例2讨论函数(f(x)=(a-1)lnx+ax^2+1)的单调性；

分析：定义域为((0，+infty))，(f'(x)=cfrac{a-1}{x}+2ax=cfrac{2ax^2+a-1}{x})，

[只需要关注分子函数，其正负取决于两个部分(2a)和(a-1)，当(2a>0)且(a-1geqslant 0)时，即(ageqslant 1)时得到恒正；

当(2aleqslant 0)且(a-1< 0)时，即(aleqslant 0)得到恒负；其他情形肯定是正负夹杂的情形]

①当(ageqslant 1)时，(f'(x)>0)，则(f(x))在((0,+infty))上单调递增；

②当(aleqslant 0)时，(f'(x)<0)，则(f(x))在((0,+infty))上单调递减；

③当(0<a<1)时，令(f'(x)=0)，解得(x=sqrt{frac{1-a}{2a}})，

故当(xin (0，sqrt{frac{1-a}{2a}}))时，(f'(x)<0)，当(xin (sqrt{frac{1-a}{2a}}，+infty))时，(f'(x)>0)，

即函数(f(x))在区间((0，sqrt{frac{1-a}{2a}}))单调递减，在区间((sqrt{frac{1-a}{2a}}，+infty))上单调递增。

例1【2017全国卷1文科第21题高考真题】已知函数(f(x)=e^x(e^x-a)-a^2x)，

（1）讨论(f(x))的单调性；

分析：利用导数求导解决，

(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^xcdot e^x-a^2=)(2e^{2x}-e^xa-a^2=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，

以下针对(a)分类讨论如下：

当(a=0)时，(f'(x)>0)恒成立，(f(x))在区间((-infty，+infty))上单调递增。

当(a>0)时，令(e^x>a)，解得(x>lna)，(f'(x)>0)，即在区间((lna，+infty))上函数(f(x))单调递增；

令(e^x<a)，解得(x<lna)，(f'(x)<0)，即在区间((-infty，lna))上函数(f(x))单调递减；

当(a<0)时，令(e^x>-cfrac{a}{2})，解得(x>ln(-cfrac{a}{2}))，(f'(x)>0)，即在区间((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))上函数(f(x))单调递增；

令(e^x<-cfrac{a}{2})，解得(x<ln(-cfrac{a}{2}))，(f'(x)<0)，即在区间((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))上函数(f(x))单调递减；

综上所述，当(a<0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))，单增区间是((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))；

当(a=0)时，单增区间是((-infty，+infty))，无单减区间；

当(a>0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，lna))，单增区间是((lna，+infty))；

（2）若(f(x)ge 0)，求(a)的取值范围。

分析：由于要(f(x)ge 0)恒成立，故只要求得(f(x)_{min}ge 0)即可，又最小值要用到函数的单调性，而函数的单调性又是与(a)的取值有关，故应该关于(a)分类讨论。

当(a<0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，ln(-cfrac{a}{2})))，单增区间是((ln(-cfrac{a}{2})，+infty))；

故(f(x)_{min}=f(ln(-cfrac{a}{2}))=e^{ln(-frac{a}{2})}(e^{ln(-frac{a}{2})}-a)-a^2ln(-cfrac{a}{2})=a^2[cfrac{3}{4}-ln(-cfrac{a}{2})])，

令(=a^2[cfrac{3}{4}-ln(-cfrac{a}{2})]geqslant 0) 得到(ageqslant -2e^{frac{3}{4}})，故(-2e^{frac{3}{4}}leq a <0)；

当(a=0)时，(f(x)=e^{2x}ge 0)恒成立，故(a=0)满足题意；

当(a>0)时，函数(f(x))的单减区间是((-infty，lna))，单增区间是((lna，+infty))；

故(f(x)_{min}=f(lna)=e^{lna}(e^{lna}-a)-a^2lna=-a^2lna)，令(-a^2lnage 0)，得到(aleq 1)，故(0<a leq 1)；

综上所述，取并集得到(a)的取值范围是([-2e^{frac{3}{4}}，1])。

例1设函数(f(x)=e^{mx}+x^2-mx)，证明：(f(x))在((-infty，0))上单调递减，在((0，+infty))上单调递增；

分析：(f'(x)=m(e^{mx}-1)+2x)，将其有意识拆分为函数(y=m(e^{mx}-1))和(y=2x)，这两个函数是共零点的，

当(m=0)时，

当(m>0)时，

当(m<0)时，

二次函数

定轴动区间或动轴定区间判断二次函数单调性时，常以对称轴和区间的位置关系分类讨论；

三角函数

三角函数化简求值中，出现(kpi)的形式，针对(k)分奇数(k=2n)和偶数(k=2n+1)讨论；如(sin(kpi-alpha)=cfrac{1}{3})；

当(k=2n(nin Z))时，(sin(kpi-alpha)=sin(2npi-alpha)=-sinalpha=cfrac{1}{3})，则(sinalpha=-cfrac{1}{3})；

当(k=2n+1(nin Z))时，(sin(kpi-alpha)=sin(2npi+pi-alpha)=sinalpha=cfrac{1}{3})，则(sinalpha=cfrac{1}{3})；