常见函数的融合转化

前言

三角函数，齐次函数，二次函数，对勾函数，幂函数等纠缠融合在一起，在判断函数的单调性和值域(或最值)时经常出现，现对其作以归纳总结。

模板函数[基础]

• 二次函数

引例求函数(f(x)=x^2+2x-3)，(xin [2，3])的值域。^[1]

• 对勾函数

引例求函数(f(x)=x+cfrac{1}{x})，(xin (0，3])的值域；(xin [2，3])的值域；

• 对勾2函数

引例求函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})，(xin [2，3])的值域；

高阶融合[转化]

• 复合函数

引例求函数(f(x)=4^x+3cdot 2^x+1)，(xin [2，3])的值域；

引例求函数(f(x)=log_2^2x-2log_2x+3)，(xin [2，4])的值域；

引例求函数(f(x)=(cfrac{1}{x})^2-cfrac{3}{x}+2)，(xin [2，3])的值域；

引例求函数(f(x)=2sin^2x+3sinx+1)，(xin R)的值域；

• 分式函数

(h(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})，

故(h(x)=cfrac{(t+2)^2-4(t+2)+5}{t}=cfrac{t^2+1}{t}=t+cfrac{1}{t})

即(h(x)=t+cfrac{1}{t}=(x-2)+cfrac{1}{x-2})

(f(x)=cfrac{9^x+1}{3^x})，

如(n(x)=cfrac{x+1}{x^2+3x+3})；则(n(x)=cfrac{x+1}{(x+1)^2+(x+1)+1}=cfrac{1}{(x+1)+cfrac{1}{x+1}+1})

如(g(t)=cfrac{t}{t^2+9}=cfrac{1}{t+frac{9}{t}})；

如(h(t)=cfrac{t+2}{t^2}=cfrac{1}{t}+2(cfrac{1}{t})^2=2m^2+m);

• 三角函数

引例求函数(f(x)=sinx+cosx+sinxcosx)的值域。【三角换元，典型例题】

分析：令(sinx+cosx=t)，则可知(tin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

则由((sinx+cosx)^2=t^2)得到(sinxcosx=cfrac{t^2-1}{2})，

故此时原函数经过换元就转化为(f(x)=g(t)=t+cfrac{t^2-1}{2}，tin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

这样就和例1是同一类型的了。(f(x)=g(t)=cfrac{1}{2}(t+1)^2-1)，(tin[-sqrt{2}，sqrt{2}])，

(f(x)=g(t) in [-1，cfrac{2sqrt{2}+1}{2}])

引例如求函数(y=cfrac{sinalphacdot cosalpha}{sinalpha+cosalpha}，alphain [0，cfrac{pi}{2}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{frac{1}{2}(t^2-1)}{t}=cfrac{1}{2}(t-cfrac{1}{t})，tin [1，sqrt{2}])

引例求函数(y=cfrac{sinalpha+cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}，alphain [0，cfrac{pi}{2}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha+cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{t^2-1}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{2}{t-frac{1}{t}}，tin [1，sqrt{2}])

引例求函数(y=cfrac{sinalpha-cosalpha}{sinalphacdot cosalpha}，alphain [cfrac{pi}{2}，cfrac{3pi}{4}])的值域问题。

分析：利用换元转化为分式型处理；

令(sinalpha-cosalpha=t=sqrt{2}sin(alpha-cfrac{pi}{4})in [1，sqrt{2}])，

则(sinalphacdot cosalpha=cfrac{1-t^2}{2})，

则原函数转化为(y=cfrac{2}{frac{1}{t}-t}，tin [1，sqrt{2}])

典例剖析

例1【2017湖南常德模拟】设函数(f(x)=|x^2-2x-1|)，若(m>n>1)，且(f(m)=f(n))，则(mn)的取值范围是【】

$A.(3,3+2sqrt{2})$ $B.(3,3+2sqrt{2}]$ $C.(1,3)$ $D.(1,3]$

法1：自行做出函数的图像，由(m>n>1)可知，(f(m)=|m^2-2m-1|=m^2-2m-1)，

(f(n)=|n^2-2n-1|=-n^2+2n+1)，

又由于(f(m)=f(n))，则(m^2-2m-1=-n^2+2n+1)，

即(m^2+n^2-2m-2n-2=0)，即((m-1)^2+(n-1)^2=4=2^2)，

则(m=1+2cos heta)，(n=1+2sin heta)，( hetain (0,cfrac{pi}{4}))，

[对角( heta)范围的说明:由(m>n>1)，得到(1+2cos heta>1+2sin heta>1)，即(cos heta>sin heta>0)，故(0< heta<cfrac{pi}{4})]

则(mn=(1+2cos heta)(1+2sin heta)=1+2(cos heta+sin heta)+4sin hetacos heta)

令(t=sin heta+cos heta)，则(2sin hetacos heta=t^2-1)

且(t=sin heta+cos heta=sqrt{2}sin( heta+cfrac{pi}{4})in (1,sqrt{2}))，

所以(mn=2t^2+2t-1)，当(t=1)时，(mn)有最小值，最小值为(3)，

当(t=sqrt{2})时，(mn)有最大值，最大值为(3+2sqrt{2})，选(A);

法2：用图形说明，由上述的动图，我们容易知道(1<n<1+sqrt{2})，(1+sqrt{2}<m<3)，

但是由同向不等式性质，得到(1 imes(1+sqrt{2})<mn<3 imes(1+sqrt{2}))却是错误的，

[原因是所作的直线始终要和(x)轴平行，故(n ightarrow 1)时，(m ightarrow 3)，而不是(m ightarrow 1+sqrt{2})]

如果要用乘法，也应该是(1 imes 3)和((1+sqrt{2}) imes (1+sqrt{2})=3+2sqrt{2})

但是这个做法有凑答案之嫌，故最合理的做法是上述的法1；

解后反思：深入思考法1的解法，我们发现本题目还可以用来做这样的考查；

①求(m+n)的取值范围；

②求((m-1)(n-1))的取值范围；

例6【2019学生问题】[转化划归+恒成立问题+分离参数+换元法+求最值]

函数(f(x)=cos2x+a(sinx-cosx))在区间([0，cfrac{pi}{2}])上单调递增，求实数(a)的取值范围。

分析：由于函数(f(x)=cos2x+a(sinx-cosx))在区间([0，cfrac{pi}{2}])上单调递增，

则(f'(x)ge 0)在区间([0，cfrac{pi}{2}])上恒成立，

又(f'(x)=-2sin2x+a(cosx+sinx)ge 0)在区间([0，cfrac{pi}{2}])上恒成立，

由于(xin [0，cfrac{pi}{2}])，(cosx+sinx>0)，故用完全分离参数法，得到，

(age cfrac{2sin2x}{sinx+cosx})在区间([0，cfrac{pi}{2}])上恒成立，

题目转化为求函数(g(x)=cfrac{2sin2x}{sinx+cosx})的最大值问题。

令(sinx+cosx=t=sqrt{2}sin(x+cfrac{pi}{4}))，则(tin [1，sqrt{2}])，

则(sin2x=t^2-1)，则函数(g(x)=h(t)=cfrac{2(t^2-1)}{t}=2(t-cfrac{1}{t}))，

又函数(h'(t)=1+cfrac{1}{t^2}>0)在(tin [1，sqrt{2}])上恒成立，

故函数(h(t))在(tin [1，sqrt{2}])上单调递增，

故(g(x)_{max}=h(t)_{max}=h(sqrt{2})=sqrt{2})，

故(age sqrt{2})。即(ain [sqrt{2}，+infty))。

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1. 分析：配方得到(f(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4)，对称轴是直线(x=-1)，开口向上，
   所以函数在区间(xin [2，3])上单调递增，则(f(x)_{min}=f(2)=5)，(f(x)_{max}=f(3)=12)，
   故函数的值域为([5，12])。 ↩︎