极坐标系中求曲线交点的困惑

前言

求两个曲线的交点问题，在直角坐标系下明明求解有两个交点，但是在极坐标系下却只能求得一个交点，到底为什么呢？

典例剖析

例1求曲线(C_1： ho=2sin heta)和曲线(C_2： ho=2sqrt{3}cos heta)的交点。

[法1]：在直角坐标系下思考计算，

将曲线(C_1)转化为普通方程为(x^2+(y-1)^2=1)，

将曲线(C_2)转化为普通方程为((x-sqrt{3})^2+y^2=3)，

将二者联立，得到(left{egin{array}{l}{x^2+(y-1)^2=1}\{(x-sqrt{3})^2+y^2=3}end{array} ight.)

解得两个交点的坐标为((0,0))和((cfrac{sqrt{3}}{2},cfrac{3}{2}))；

[法2]：在极坐标系下思考计算，

将二者联立，得到(left{egin{array}{l}{ ho=2sin heta}\{ ho=2sqrt{3}cos heta}end{array} ight.quad) 消去( ho)，

得到(tan heta=sqrt{3})，即( heta=cfrac{pi}{3})。代入计算得到( ho=sqrt{3})，

则交点的直角坐标为(( hocdot cos heta， hocdot sin heta)=(cfrac{sqrt{3}}{2},cfrac{3}{2}))

[困惑]：解法2怎么少了一个交点((0,0))?

分析：在极坐标系中，如果限定极角的范围是([0,2pi))，则极坐标系中的所有点(必须排除极点(O))和其极坐标(( ho, heta))之间是一一对应的，只有极点最特殊，我们规定极点的( ho=0)，但是其极角( heta)在前提范围([0,2pi))内是任意的，这就造成了一个特殊情况。

比如上述问题，在表达式(C_1： ho=2sin heta)中，令( heta=0)，则( ho=0)，此时对应极点((0,0))，

在表达式(C_2： ho=2sqrt{3}cos heta)中，令( heta=cfrac{pi}{2})，则( ho=0)，此时对应极点((0,cfrac{pi}{2}))，

这样我们在极坐标系下就找回了丢失的另一个交点。

解后反思：如果两个曲线的交点经过极点，那么在极坐标系下求解很有可能会失根，而同样的情形在直角坐标系下却不会，发生这样的问题；所以凡是涉及经过极点的曲线的交点的求解，高考题目的求解思路都是在直角坐标系下给出的。同时，我们也就能理解在极坐标系下的极点的坐标为什么要那样规定。

引申求直线( hocdot cos heta+2 hocdot sin heta=1)和(2 hocdot cos heta-3 hocdot sin heta=2)的交点。

上述题目在极坐标系下求交点容易呢，还是在直角坐标系下求交点容易。

解后反思：当涉及到的曲线两个都没有经过极点时，我们还是在在直角坐标系下求交点容易些。

[2018山西太原二模]