在线|二轮辅导[01][函数与基本初等函数]

思维导图

• 函数和基本初等函数，请各位自己点击链接，在个人的终端上查看阅读。

典例剖析

例1【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=f(2-x))，若函数(y=|x^2-2x-3|)与函数(y=f(x))图像的交点为((x_1，y_1)，(x_2，y_2)，cdots，(x_m，y_m))，则(sumlimits_{i=1}^m{x_i})的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=f(2-x))，则函数的对称轴是直线(x=1)，

而函数(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|)的对称轴也是直线(x=1)，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数(m)一定是偶数个，两两配对的个数为(cfrac{m}{2})，比如(A)和(B)配对，

则有(cfrac{x_1+x_m}{2}=1)，(x_1+x_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=cfrac{m}{2}cdot 2=m)，故选(B)。

例2【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2))；②函数(y=f(x+2))是偶函数；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x})，若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，

则(a)，(b)，(c)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足(f(x+4)=f(x))，其周期是(4)；

由②可知(y=f(x))的对称轴是(x=2)，可以表达为(f(x+4)=f(-x))，

那么在结合(f(x+4)=f(x))，可知(f(-x)=f(x))，则函数(f(x))还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数(f(x))在区间((0，2])上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

(a=f(-5)xlongequal{周期性}f(-1)xlongequal{奇偶性}f(1))；

(b=f(cfrac{19}{2})xlongequal{周期性}f(cfrac{3}{2})=f(1.5))；

(c=f(cfrac{41}{4})xlongequal{周期性}f(2+cfrac{1}{4})xlongequal{已知表达式}f(cfrac{1}{4}-2)xlongequal{偶函数}f(2-cfrac{1}{4})=f(1.75))；

或(c=f(cfrac{41}{4})=f(2+cfrac{1}{4})=f(2+cfrac{1}{4}-4)=f(-cfrac{7}{4})=f(cfrac{7}{4})=f(1.75))

由(ecause f(x))在区间((0，2])上( earrow)，(1<1.5<1.75)， ( herefore f(1)<f(1.5)<f(1.75))，

即(a<b<c)，故选(D)。

例3【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下三个条件：

①对于任意的(xin R)，都有(f(x+1)=f(x-1))；

②函数(y=f(x+1))的图像关于(y)轴对称；

③对于任意的(x_1，x_2in [0，1])，都有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0)；

则(f(cfrac{3}{2}))、(f(2))、(f(3))的大小关系是【】

$A.f(cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$

$B.f(3)>f(2)>f(cfrac{3}{2})$

$C.f(cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$

$D.f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2)$

分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；

由①可知，函数的周期为(T=2)，故可以简化其中的两项，(f(2)=f(0))，(f(3)=f(1))；

由②，通过图像的平移，可知函数(y=f(x))的对称轴为直线(x=1)，即函数满足条件(f(x)=f(2-x))，再赋值得到，(f(cfrac{3}{2})=f(2-cfrac{3}{2})=f(cfrac{1}{2}))；

由③可知函数(f(x))在区间([0，1])上单调递增，由于(1>cfrac{1}{2}>0)，故(f(1)>f(cfrac{1}{2})>f(0))，即满足(f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2))，故选(D)。

例4【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数(f(x))是定义在((-infty，+infty))上的奇函数，满足(f(1-x)=f(1+x))，若(f(1)=2)，则(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=)【(hspace{2em})】。

$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$

分析：先将奇函数性质改写为，(f(x)=-f(-x)①)；

再将对称性(f(1-x)=f(1+x))改写为(f(2-x)=f(x)②)，

由①②式可知，(f(2-x)=-f(-x))，即(f(2+x)=-f(x))，故(T=2 imes 2=4)，

这样(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))，接下来就是重点求这些函数值；

由于函数是定义在(R)上的奇函数，故(f(0)=0)，则(f(4)=f(4-4)=f(0)=0)，

令(x=0)，则由(f(2-x)=-f(-x))可得到(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0)，即(f(2)=0)，

(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2)，故(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0)，

即所求(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50))

(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))

(=f(1)+f(2)=2)，故选(C)。

例5【2016南京模拟】(f(x))是定义在((0，+infty))上的单调增函数，满足(f(xy)=f(x)+f(y))，(f(3)=1)，当(f(x)+f(x-8)leqslant 2)时，求(x)的取值范围。

分析：先将右侧的常数(2)函数化，(2=1+1=f(3)+f(3)=f(3 imes3)=f(9))，

而左侧的(f(x)+f(x-8))需要融合为一个(f)的形式，此时需要逆用到题目中的(f(xy)=f(x)+f(y))，即(f(x)+f(y)=f(xy))，

故(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)])，则原不等式等价于(f[x(x-8)]leqslant f(9))，

等价转化为(egin{cases}x>0\x-8>0\x(x-8)leq 9end{cases})， 解得(8<xleq 9)。

例6【2020(cdot)高三文科练习】已知函数(f(x)=lnx+2^x)，若(f(x^2-4)<f(1))，则实数(x)的取值范围是______。

分析：函数的定义域为((0，+infty))，且在定义域上单调递增，故由(f(x^2-4)<f(1))，

得到(left{egin{array}{l}{x^2-4>0}\{x^2-4<1}end{array} ight.) 解得(-sqrt{5}<x<-2)或(2<x<sqrt{5})，

故填写((-sqrt{5}，2)cup(2，sqrt{5}))。

例7已知函数(f(x)=ln(sqrt{x^2+1}+x))，且(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

分析：先求定义域，由于(sqrt{x^2+1}ge pm sqrt{x^2})，故定义域为((-infty，+infty))，

又由于(f(-x)=ln(sqrt{x^2+1}-x))，故(f(x)+f(-x)=ln1=0)，故函数为奇函数。

当(xin [0，+infty))时，(x^2 earrow)，(1+x^2 earrow)，(sqrt{1+x^2} earrow)，(x+sqrt{1+x^2} earrow)，

(y=ln(x+sqrt{1+x^2}) earrow)，则由奇函数可知在((-infty，+infty))上，(f(x) earrow)，

故由定义域为(R)，奇函数，单调递增，则由(f(x-1)+f(x)>0)，

得到(f(x-1)>-f(x)=f(-x))，即(x-1>-x)，解得(x>cfrac{1}{2})，即(xin (cfrac{1}{2}，+infty))。

【变式1】已知奇函数(f(x))定义域为(R)，且单调递增，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

【变式2】已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(-x)+f(x)=0)，且在(xin [0，+infty))上时，恒有(f'(x)geqslant 0)成立，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

【变式3】已知定义在(R)上的函数(f(x))图像关于原点对称，且在(x_1,x_2in [0，+infty))上时，有(cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1 eq x_2))成立，若(f(x-1)+f(x)>0)，求(x)的取值范围；

例8【2017(cdot)榆林模拟】函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，则不等式(f(a-2)+f(a^2-4)<0)的解集是【】

$A.(sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(sqrt{3}，sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号(f)，而在此之前，需要转化为(f(M)<( 或>)f(N))的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得定义域((-1，1))；

再求奇偶性，(f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}-sinx)，(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sinx)，所以(f(-x)+f(x)=0)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令(g(x)=lncfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-cfrac{2}{x-1}))，由于(u=-1-cfrac{2}{x-1})为增函数，

所以函数(g(x))为增函数，故函数(f(x)=g(x)+sinx)为((-1，1))上的增函数，

法二，导数法，(f'(x)=cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0)，故函数(f(x))为((-1，1))上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由(f(a-2)+f(a^2-4)<0)，变换得到(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2))，

由定义域和单调性得到以下不等式组：

(egin{cases}-1<a-2<1\ -1<a^2-4<1 \a-2<4-a^2 end{cases})，解得(sqrt{3}<a<2)，故选(A)。

例9已知(f(x))的定义域为(R)，且(f(x) =egin{cases}2^{-x}-1， &xleq 0 \f(x-1) ，&x>0 end{cases})，若方程(f(x)=x+a)有两个不同实根，求(a)的取值范围((-infty，1))。

【法1】：基础作图法，利用给定的关系式得到函数在每一段上的解析式，然后分段作图。由(f(x)=f(x-1))可知(T=1)；

当(0<xleqslant 1)时，(x-1leqslant 0)，故(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)-1}=2^{1-x}-1)；

当(1<xleqslant 2)时，(x-2leqslant 0)，故(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)-1}=2^{2-x}-1)；

当(2<xleqslant 3)时，(x-3leqslant 0)，故(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)-1}=2^{3-x}-1)；

(cdots)，(cdots)，(cdots)，

依此类推，得到如下的解析式：

[f(x) =left{egin{array}{l}{2^{-x}-1，xleqslant 0}\{2^{1-x}-1，0< x leqslant 1} \{2^{2-x}-1，1< xleqslant 2}\{ 2^{3-x}-1，2< xleqslant 3} \ {2^{4-x}-1，3< xleqslant 4}\{cdots，cdots,}end{array} ight. ]

依托上述解析式，我们就能容易做出静态函数(y=f(x))和动态函数(y=x+a)的图像于同一个坐标系，

利用图像，就能轻松看出参数(a)的取值范围为(ain (-infty，1))。

【法2】：快速作图法，解读给定的分段函数的解析式，第一段其实是作图的基础，难点是如何利用第二段来作图，

由于(f(x)=f(x-1)(x>0))，说明函数在((0，+infty))上部分图像向右有周期性(T=1)，

又由于(f(x-1))的图像是把(f(x))的图像向右平移一个单位得到，故将第一段向右平移一个单位，然后截取图像的((0,1])区间上的部分即可。

这样，在区间((1,2])段上的图像，就是将((0,1])段上的图像向右平移一个单位即可，

在区间((2,3])段上的图像，就是将((1,2])段上的图像向右平移一个单位即可，以此类推，

得到区间((0，+infty))上的所有图像，然后在同一个坐标系中再做出动态函数(y=x+a)的图像，

利用图像，就能轻松看出参数(a)的取值范围为(ain (-infty，1))。

解后反思：函数与方程的相互等价转化，数形结合思想； 特殊分段函数的图像做法； 分段函数中只包含周期性的图像做法；