分组求和法

前言

适用范围

把数列中的每一项都能拆分成两项或者几项之代数和，然后有效分组[比如所有奇数项为一组，所有偶数项为另一组]，转化为等差求和或等比求和类型，或能知道求和公式[不一定是等差或等比]的类型；

比如数列({a_n})的通项公式为(a_n=(2n-1)+cfrac{1}{3^n})，此时需要我们具备将数列竖行看的能力；

[a_1=(2 imes1-1)quad+quadcfrac{1}{3^1} ]

[a_2=(2 imes2-1)quad+quadcfrac{1}{3^2} ]

[cdotsquad,quadcdots ]

[a_n=(2 imes n-1)quad+quadcfrac{1}{3^n} ]

[quadquadquadquadquadUparrow 此列等差quadquadUparrow 此列等比 ]

相关公式

①等差数列的(S_n=cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+cfrac{n(n-1)cdot d}{2})

②等比数列的(S_n=left{egin{array}{l}{na_1，q=1}\{cfrac{a_1cdot (1-q^n)}{1-q}=cfrac{a_1-a_nq}{1-q}，q eq 1}end{array} ight.)

③(1+2+3+cdots+ n=cfrac{n(n+1)}{2})；

④(1+3+5+cdots +(2n-1)=cfrac{[1+(2n-1)]cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑤(2+4+6+cdots +2n=cfrac{(2+2n)cdot n}{2}=n^2)，注意求和项数为(n)项；

⑥(1^2+2^2+3^2+cdots+ n^2=cfrac{ncdot (n+1)cdot (2n+1)}{6})；

⑦(1^3+2^3+3^3+cdots+ n^3=[cfrac{n(n+1)}{2}]^2)；

⑧由(a_{n+2}-a_n=2)可知，数列中奇数项成等差，公差为(2)；偶数项成等差，公差为(2)；

⑨由(cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2)可知，数列中奇数项成等比，公比为(2)；偶数项成等比，公比为(2)；

运算技巧

①指数运算：

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$

$2^n+2^n=2^{n+1};$

$2^{n+1}-2^n=2^n;$

$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$；

$2^{n+1}+2^n=3cdot 2^n$；

$2^{-(n+1)}cdot 2=2^{-n}$；

$2^ncdot 2^n=2^{2n}$；

$3^{n-1}-3^n=-2cdot 3^{n-1}$；

$2^{n+1}÷2^n=2;$

$frac{1}{2^n}+frac{1}{2^{n+1}}=frac{3}{2^{n+1}}$；

$3^{n-1}cdot 3^n=3^{2n-1}$；

$2^{n+1}cdot 2^n=2^{2n+1};$

②利用等差数列求项数：

由(a_n=a_1+(n-1)cdot d)，可得项数(n=cfrac{a_n-a_1}{d}+1)，推广得到项数(n=cfrac{a_n-a_m}{d}+m)，

如数列(2^1，2^3，2^5，cdots ，2^{2n-1})的项数的计算，其项数可以利用上标来计算，其上标刚好成等差数列，

项数(r=cfrac{a_n-a_1}{d}+1=cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n)；

典例剖析

例1求数列的前(n)项和(S_n=1cfrac{1}{2}+3cfrac{1}{4}+5cfrac{1}{8}+7cfrac{1}{16}+cdots+[(2n-1)+cfrac{1}{2^n}])

分析：必须先能认出其通项公式(a_n=(2n-1)+cfrac{1}{2^n})，从而应该和分组求和法建立关联。

(S_n=[1+3+5+cdots+(2n-1)]+[cfrac{1}{2}+cfrac{1}{4}+cfrac{1}{8}+cdots+cfrac{1}{2^n}])

(=cfrac{1+(2n-1)}{2}cdot n+cfrac{cfrac{1}{2}(1-(cfrac{1}{2})^n)}{1-cfrac{1}{2}})

(=n^2+1-cfrac{1}{2^n})。

例2【2018东阳市模拟】已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}cdot a_n=2^n(nin N^*))，则(S_{2015})等于【】

$A.2^{2018}-1$ $B.3 imes 2^{1009}-3$ $C.3 imes 2^{1007}-3$ $D.2^{1009}-3$

分析：由(a_1=1)，(a_{n+1}cdot a_n=2^n(nin N^*))①，可得(a_2=2)

当(nge 2)时，(a_ncdot a_{n-1}=2^{n-1})②，

由①②两式相除可得，(cfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=cfrac{2^n}{2^{n-1}}=2)，

所以数列({a_n})中奇数项、偶数项分别成等比数列，

且奇数项数列的首项为(a_1=1)，公比为(2)，偶数项数列的首项为(a_2=2)，公比为(2)，

故(S_{2015}=(a_1+a_3+a_5+cdots+a_{2015})+(a_2+a_4+a_6+cdots+a_{2014}))

(=cfrac{1cdot (1-2^{1008})}{1-2}+cfrac{2cdot (1-2^{1007})}{1-2})

(=cfrac{1cdot (2^{1008}-1)}{2-1}+cfrac{2cdot (2^{1007}-1)}{2-1})

(=2^{1008}-1+2^{1008}-2=2^{1009}-3)，故选(D)。

例3【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】已知正项等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(7S_6=3S_9)，(a_4=2)，则数列({a_{3n-2}+log_2a_n})的前(10)项的和(T_{10})=____________。

分析：先由条件(7S_6=3S_9)，求得(q^3=2)，则(a_n=a_4cdot q^{n-4}=2q^{n-4})，

则(a_{3n-2}=2cdot q^{3n-6}=2cdot (q^3)^{n-2}=2cdot 2^{n-2}=2^{n-1})；

(log_2a_n=log_22cdot q^{n-4}=1+(n-4)log_2q=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_2q^3)

(=1+(n-4)cdot cfrac{1}{3}log_22=1+cfrac{n-4}{3})；

则(T_{10}=(2^0+2^1+cdots+2^9)+[(1+cfrac{-3}{3})+(1+cfrac{-2}{3})+cdots+(1+cfrac{6}{3}))

(=cfrac{1(2^{10}-1)}{2-1}+10+cfrac{1}{3} imescfrac{(-3+6)10}{2}=1023+15=1038);

解后反思：巧妙利用指数幂的运算性质，可以大大简化本题目的运算过程，降低运算难度。

对应练习

练1【2018届山东济南期中】等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，数列({b_n})是等比数列，满足(a_1=3)，(b_1=1)，(b_2+S_2=10)，(a_5-2b_2=a_3)，

(1).求数列({a_n})和({b_n})的通项公式；

提示：(a_n=2n+1)，(b_n=2^{n-1})；

(2).若(c_n=left{egin{array}{l}{cfrac{2}{S_n}，n为奇数}\{b_n，n为偶数}end{array} ight.)，设数列({c_n})的前(n)项和为(T_n)，求(T_{2n}).

提示：(c_n=left{egin{array}{l}{cfrac{1}{n}-cfrac{1}{n+2}，n为奇数}\{2^{n-1}，n为偶数}end{array} ight.)，

故(T_{2n}=[(1-cfrac{1}{3})+(cfrac{1}{3}-cfrac{1}{5})+cdots+(cfrac{1}{2n-1}-cfrac{1}{2n+1})]+(2^1+2^3+cdots+2^{2n-1}))

(=cfrac{2n}{2n+1}+cfrac{2(4^n-1)}{3}).