由曲线的公切线求参数范围

前言

由于是曲线的公切线，故这类问题一般至少涉及两条曲线，一条直线[公切线]；

求解思路

设曲线(C_1：y=f(x))，曲线(C_2：y=g(x))，其公切线为直线(l)，分别与两条曲线相切于点(A(x_1,y_1))和点(B(x_2,y_2))，则在每一个切点处，利用切线方程(y-y_0=k(x-x_0))，应该能得到两条切线方程，这两条切线方程应该是一样的[同一法]；则由斜率相等，截距相等可以建立两个切点坐标的关系[等式中会包含有参数]，然后分离参数，转化为方程有解的类型，求解即可。

典例剖析

例1【2016全国卷2理科第16题高考真题】】【公切线问题】直线(y=kx+b)是函数(y=lnx+2)的切线，也是函数(y=ln(x+1))的切线，求参数(b)的值。

思路：设直线(y=kx+b)与函数(C_0:y=lnx+2)相切于点(P_0(x_0，y_0))，

直线(y=kx+b)与函数(C_1:y=ln(x+1))相切于点(P_1(x_1，y_1))，

则由题可知，在点(P_0(x_0，y_0))处的切线方程为(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0))，

即(y-(lnx_0+2)=cfrac{1}{x_0}(x-x_0))，化简为(y=cfrac{1}{x_0}x+lnx_0+1)；

在点(P_0(x_0，y_0))处的切线方程为(y-y_1=f'(x_1)(x-x_1))，

即(y-ln(x_1+1)=cfrac{1}{x_1+1}(x-x_1))，化简为(y=cfrac{1}{x_1+1}x+ln(x_1+1)-cfrac{x_1}{x_1+1})

由这两条切线是同一条可知【同一法】，

(egin{cases} k=cfrac{1}{x_0}=cfrac{1}{x_1+1} \ b=lnx_0+1=ln(x_1+1)-cfrac{x_1}{x_1+1} end{cases})

解得：(egin{cases} x_0=x_1+1 \ x_0=cfrac{1}{2},x_1=-cfrac{1}{2}end{cases})

所以(b=1+lnx_0=1+ln(cfrac{1}{2})=1-ln2).

反思：还可以求解(k)值，切线方程等。

• 求解公切线的条数

例2【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设切点(P(x_0，f(x_0)))满足以下条件：函数(f(x)=-x^2)的图像在点(P(x_0，f(x_0)))处的切线(l)与函数(g(x)=x^2+2x+3)的图像也相切，则这样的切点(P)的个数有【】个。

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

法1：做出两个曲线的图像，由图像的位置观察可得，选(C)；

法2：计算法，设函数(g(x)=x^2+2x+3)上的切点为(P(x_0，y_0))，

则(k=g'(x_0)=2x_0+2)①，又(y-y_0=(2x_0+2)(x-x_0))②，

且有(y_0=x_0^2+2x_0+3)③，将③代入②，

得到切线方程为(2(x_0+1)x-y+3-x_0^2=0)，再联立(f(x)=y=-x^2)，

消去(y)，得到(x^2+2(x_0+1)x+3-x_0^2=0)，

由切线和函数(y=f(x))也相切，则(Delta=0)，

得到(x_0^2+x_0-1=0)，解得(x_0=cfrac{pmsqrt{5}-1}{2})，

故情形一，切点为((cfrac{sqrt{5}-1}{2}，cfrac{sqrt{5}+7}{2}))，斜率为(k=sqrt{5}+1)；

情形二，切点为((cfrac{-sqrt{5}-1}{2}，cfrac{-sqrt{5}+7}{2}))，斜率为(k=-sqrt{5}+1)；

故满足题意的切点个数有2个，故选(C)。

对计算结果的图形验证如下所示：

例3【2017•潍坊模拟】若存在过点((1，0))的直线与曲线(y＝x^3)和(y＝ax^2+cfrac{15}{4}x-9)都相切，则(a)等于【 】

$A.-1或-cfrac{25}{64}$ $B.-1或-cfrac{21}{4}$ $C.-cfrac{7}{4}或-cfrac{25}{64}$ $D.-cfrac{7}{4}或7$

分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点处的与(y=x^3)相切的直线，然后联立直线和抛物线(二次函数)，利用(Delta=0)来解决。

设过点((1，0))的直线与曲线(y＝x^3)相切于点((x_0，y_0))，由(f'(x)=3x^2)可得，

(egin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\y_0=x_0^3\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)end{cases})，

又点((1，0))在切线上，故有(0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0))，解得(x_0=0)或(x_0=cfrac{3}{2})；

当(x_0=0)时，(y_0=0)，即切点是((0，0))，斜率(k=0)，故切线方程为(y=0)，

与曲线(y=ax^2+cfrac{15}{4}x-9)相切，消(y)得到(ax^2+cfrac{15}{4}x-9=0)，

利用(Delta=(cfrac{15}{4})^2+4 imes 9a=0)，解得(a=-cfrac{25}{64})；

当(x_0=cfrac{3}{2})时，(y_0=cfrac{27}{8})，即切点是((cfrac{3}{2}，cfrac{27}{8}))，斜率(k=cfrac{27}{4})，

故切线方程为(y-cfrac{27}{8}=cfrac{27}{4}(x-cfrac{3}{2}))，

与曲线(y=ax^2+cfrac{15}{4}x-9)相切，消(y)得到(ax^2-3x-cfrac{9}{4}=0)，

利用(Delta=(-3)^2-4 imes a imes(-cfrac{9}{4})=0)，解得(a=-1)；

综上，(a=-1)或(-cfrac{25}{64})，故选A。

反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用(Delta=0)来解决。

• 由公切线的存在性问题求参数的取值范围

例4（公切线）若曲线(C_1：y=ax^2(a>0))与曲线(C_2：y=e^x)有(存在)公共切线，求参数(a)的取值范围。

分析：由(y=ax^2)，得到(y'=2ax)；由(y=e^x)得到(y'=e^x)；

曲线(C_1：y=ax^2(a>0))与曲线(C_2：y=e^{-x})有公共切线，

设公切线与(C_1：y=ax^2(a>0))相切于点((x_1，ax_1^2))，

公切线与(C_1：y=e^x(a>0))相切于点((x_2，e^{x_2}))，

则由切线斜率相等，可得(2ax_1=e^{x_2}=cfrac{e^{x_2}-ax_1^2}{x_2-x_1})，

可得(2x_2=x_1+2)；便于变量集中，

故由(2ax_1=e^{x_2})，分离参数得到(a=cfrac{e^{x_2}}{2x_1}=cfrac{e^{frac{x_1}{2}+1}}{2x_1})

令(f(x)=cfrac{e^{frac{x}{2}+1}}{2x})，即上式为(a=f(x)(由图可看出x>0))由实数解，

转化为求函数(f(x))的值域问题。

(f'(x)=cfrac{e^{frac{x}{2}+1}cdot cfrac{1}{2}cdot 2x-e^{frac{x}{2}+1}cdot 2}{(2x)^2})，

(=cfrac{e^{frac{x}{2}+1}cdot(x-2)}{4x^2})，

故(xin(0，2))上，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

(xin(2，+infty))上，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

故(f(x)_{极小}=f(x)_{min}=f(2)=cfrac{e^2}{4})；

故(a)的取值范围为([cfrac{e^2}{4}，+infty))。

例5【2016日照模拟】已知函数(f(x)=e^x-mx+1)的图像为曲线(C),若曲线(C)存在与直线(y=ex)垂直的切线，则实数(m)的取值范围是__________.

分析：由于曲线(C)存在与直线(y=ex)垂直的切线，设曲线的切线的切点坐标((x_0，y_0))，

则有(f'(x_0)=e^{x_0}-m=-cfrac{1}{e})，即方程(m=e^{x_0}+cfrac{1}{e})有解，

故转化为求函数(g(x_0)=e^{x_0}+cfrac{1}{e})的值域，

由于(x_0in R),故(g(x_0)in (cfrac{1}{e}，+infty))，

故实数(m)的取值范围是(min (cfrac{1}{e}，+infty))。

• 由公切线的存在性问题求切点坐标的取值范围

例6【2016-17宝鸡市第一次质量检测】已知函数(y=x^2)的图像在点((x_0,x_0^2))处的切线为(l)，若(l)也与函数(y=lnx)，(xin (0，1))的图像相切，则(x_0)必满足范围是【】

$A.0< x_0

分析：由切线(l)与函数(y=x^2)相切与点((x_0，x_0^2))，则得到切线的点斜式方程为：(y-x_0^2=2x_0(x-x_0))

由切线(l)与函数(y=lnx)相切与点((x_1，lnx_1))，则得到切线的点斜式方程为：(y-lnx_1=cfrac{1}{x_1}(x-x_1))且(x_1in(0，1))

又两条切线是同一条直线，得到

(egin{cases} 2x_0=cfrac{1}{x_1} hspace{0.5cm} x_1in(0，1) hspace{1cm}①\ x_0^2=1-lnx_1 hspace{3cm}②end{cases})

法1：不等式性质法

由于(x_1in(0，1))，由①得到(x_0>cfrac{1}{2})；由于(1-lnx_1>1)，由②得到(x_0>1)，综合得到(x_0>1)，故选(D).

法2：零点存在性定理

由方程组消掉(x_1)得到新方程(x_0^2-ln2x_0-1=0)，令函数(f(x_0)=x_0^2-ln2x_0-1)，由零点存在性定理可得，(D) 是正确的。当然我们还可以结合二分法，得到更小的解的区间。

• 由公切线的存在性问题求参数的最值

例7【2017山西太原模拟】设函数(f(x)=cfrac{3}{2}x^2-2ax(a>0))与(g(x)=a^2lnx+b)有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数(b)的最大值为【】

$A.cfrac{1}{2e^2}$ $B.cfrac{1}{2}e^2$ $C.cfrac{1}{e}$ $D.-cfrac{3}{2e^2}$

分析：本题目属于公切线问题，设切点为(P(x_0，y_0))，则满足以下方程组

(egin{cases}f'(x_0)=g'(x_0)①\y_0=f(x_0)=cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0②\y_0=g(x_0)=a^2lnx_0+b③end{cases})

由①得到(x_0=a)或(x_0=-cfrac{a}{3}(a>0，不符合舍去))

由②③得到，(cfrac{3}{2}x_0^2-2ax_0=a^2lnx_0+b)，将(x_0=a)代入，

分离参数(b)得到，(b=-cfrac{1}{2}a^2-a^2lna)。

设(h(a)=-cfrac{1}{2}a^2-a^2lna(a>0))，则(b_{max}=h(a)_{max})；

接下来，用导数研究(h(a))的单调性。

(h'(a)=-2a(1+lna))，借助(y=1+lna)的大致图像可知，

(h(a))在区间((0，cfrac{1}{e}))单调递增，在区间((cfrac{1}{e}，+infty))上单调递减，

则(h(a)_{max}=h(cfrac{1}{e})=cfrac{1}{2e^2})

即(b_{max}=cfrac{1}{2e^2})，选A。