圆锥曲线与均值不等式

前言

典例剖析

例1【2020年陕西省高三数学文质量检测一第9题】已知双曲线(E:cfrac{x^2}{a^2}-cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))，(F_1)、(F_2)分别为(E)的左、右焦点，(A_1)、(A_2)分别为(E)的左、右顶点，且(|A_1A_2|geqslant |A_2F_2|)，点(M)在双曲线右支上，若(frac{|MF_1|-2a}{|MF_1|^2})的最大值为(cfrac{1}{4})，则(E)的焦距的取值范围是【(quad)】

$A.(1,cfrac{3}{2}]$ $B.[2,3]$ $C.(1,2]$ $D.(1,3]$

法1：如图所示，由双曲线的定义可知，(|MF_1|-|MF_2|=2a)，即(|MF_1|=|MF_2|+2a)，

故(cfrac{|MF_1|-2a}{|MF_1|^2}=cfrac{|MF_2|+2a-2a}{(|MF_2|+2a)^2}=cfrac{|MF_2|}{(|MF_2|+2a)^2}=cfrac{|MF_2|}{|MF_2|^2+4a|MF_2|+4a^2})

(=cfrac{1}{|MF_2|+frac{4a^2}{|MF_2|}+4a}leqslant cfrac{1}{2sqrt{4a^2}+4a}=cfrac{1}{8a}=cfrac{1}{4})，当且仅当(|MF_2|=2a)时取到等号；

故解得(a=cfrac{1}{2})，结合题意(|A_1A_2|geqslant |A_2F_2|)，

即(2ageqslant c-a)，则(3ageqslant c)，即(cfrac{c}{a}leqslant 3)，

又由于双曲线的离心率(e=cfrac{c}{a}>1)，故(1<cfrac{c}{a}leqslant 3)，

则(cfrac{1}{2}=a<cleqslant 3a=cfrac{3}{2})，故(1<2cleqslant 3)，故选(D)。

解后反思：①牢记双曲线的定义的使用；②分式形式的化简变形技巧；③离心率的范围的使用；④不等式性质的使用；⑤本题目还可以求解离心率的范围；

法2：由于(|A_1A_2|geqslant |A_2F_2|)，即(2ageqslant c-a)，

则(3ageqslant c)，即(cfrac{c}{a}leqslant 3)，又由于双曲线的离心率(e=cfrac{c}{a}>1)，

故(1<cfrac{c}{a}leqslant 3)，设(|MF_1|=r)，

则(cfrac{|MF_1|-2a}{|MF_1|^2}=cfrac{r-2a}{r^2}=cfrac{1}{r}-2acdot (cfrac{1}{r})^2=-2a(cfrac{1}{r}-cfrac{1}{4a})^2+cfrac{1}{8a}leqslant cfrac{1}{4})

当且仅当(|MF_1|=4a)时取到等号；故(a=cfrac{1}{2})，

则由(1<cfrac{c}{a}leqslant 3)得到，(cfrac{1}{2}=a<cleqslant 3a=cfrac{3}{2})，

故(1<2cleqslant 3)，故选(D)。

例2【均值不等式的使用】在平面直角坐标系(xoy)中，已知点(A)在椭圆(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{8}=1)上，点(P)满足(overrightarrow{AP}=(lambda-1)overrightarrow{OA}(lambdain R))，且(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OP}=12)，求线段(OP)在(x)轴上的投影长度的最大值。

解析：由(overrightarrow{AP}=(lambda-1)overrightarrow{OA})，即(overrightarrow{OP}-overrightarrow{OA}=(lambda-1)overrightarrow{OA})

则有(overrightarrow{OP}=lambdaoverrightarrow{OA})，故(O、P、A)三点共线，由(overrightarrow{OA}cdot overrightarrow{OP}=12)，得到(|overrightarrow{OA}|cdot |overrightarrow{OP}|=12)，

设OP与(x)轴的夹角为( heta)，点(A(x，y))，(B)为点(A)在(x)轴上的投影，由图可知，线段(OP)在(x)轴上的投影长度为(||overrightarrow{OP}|cdot cos heta|)

则(||overrightarrow{OP}|cdot cos heta|=|overrightarrow{OP}| imes cfrac{|overrightarrow{OB}|}{|overrightarrow{OA}|})(=cfrac{12}{|overrightarrow{OA}|} imes cfrac{|overrightarrow{OB}|}{|overrightarrow{OA}|})

(=12cdot cfrac{|overrightarrow{OB}|}{|overrightarrow{OA}|^2})，又由于(|overrightarrow{OB}|=|x|)，(|overrightarrow{OA}|=sqrt{x^2+y^2})，

(=12 imes cfrac{|x|}{x^2+y^2})， 接下来施行变量集中，由于(cfrac{x^2}{16}+cfrac{y^2}{8}=1)，得到(y^2=8-cfrac{x^2}{2})，代入

(=12 imes cfrac{|x|}{cfrac{x^2}{2}+8})，分子分母同除以(|x|)得到，

(=12 imes cfrac{1}{frac{|x|}{2}+frac{8}{|x|}}leq 12 imes cfrac{1}{4}=3)，

当且仅当(|x|=4)时等号成立，故线段(OP)在(x)轴上的投影长度的最大值为(3)。