争鸣|函数性质的综合应用辨析

前言

案例分析

例1【2017天津一中月考】已知定义在(R)上的奇函数(f(x))满足(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))，且当(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，则(f(2015))=【】

$A.-1$ $B.-2$ $C.1$ $D.2$

资料解法：由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))和奇函数(f(-x)=-f(x))，

可得到(f(cfrac{3}{2}+x)=-f(x))，即(T=3) ; 周期性

(f(2015)=f(3 imes 672-1)=f(-1)=-f(1))，

又由(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，

可得(f(2015)=-f(1)=-log_2(3 imes1+1)=-2)。故选(B);

解后反思：这个题目其实是有问题的，理由如下：

由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))和奇函数(f(-x)=-f(x))，

可得到(f(cfrac{3}{2}+x)=-f(x))，即(T=3) ;

则(f(2015)=f(3 imes 671+2)=f(2))，

由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))可得，

(f(2)=f(cfrac{3}{2}+cfrac{1}{2})=f(-cfrac{1}{2})=-f(cfrac{1}{2}))

(=-log_2(3 imes cfrac{1}{2}+1)=-log_2cfrac{5}{2} eq -2)，故没有选项可供选择。

那么哪一个解法对呢？其实本身是这个题目有问题。分析如下：

(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))，说的是函数的对称性，其对称轴是直线(x=cfrac{3}{4})，

又给定函数满足(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，

可以看出来在((0，cfrac{3}{2}])上单调递增，

这样的两条性质是不可能同时成立的。