前言
拆分策略
当研究函数(y=e^x-kx) ((x>0)) 的零点情况时,思路一可以考虑直接利用导数来研究,当然需要相当的精力和时间付出;思路二如果将(y=e^x-kx)的零点问题转化为函数(y=kx)与函数(y=e^x)的位置关系问题,就容易的多。尤其是当研究函数(y=e^x-kx) ((x>0)) 的零点情况变成另一个题目的一部分时,思路二的采用就显得尤为重要;
用下面的动态图像加以详细说明:
利用上述的动态图像,我们可以看到,
当函数(y=e^x-kx)没有零点时,对应的另外两个函数图像的位置关系是相离;
当函数(y=e^x-kx)只有一个零点[不变号零点]时,对应的另外两个函数图像的位置关系是相切;
当函数(y=e^x-kx)有两个零点[变号零点]时,对应的另外两个函数图像的位置关系是相交;
法1:导数法,(f'(x)=e^x-k),
①当(kleqslant 0)时,(f'(x)geqslant 0)恒成立,故(f(x))单调递增,又由于(f(0)=e-k>0),故函数(f(x))没有零点;
②当(k>0)时,令(g'(x)=e^x-k=0),则得到(x=ln k),
故当(xin(0,lnk))时,(g'(x)<0),(g(x))单调递减,当(xin(lnk,+infty))时,(g'(x)>0),(g(x))单调递增,
故(x=lnk)时,(f(x)_{min}=f(lnk)=k-klnk),由(k-klnk=0),解得(k=e),
即当(0<k<e)时,函数也是没有零点的,当(k=e)时,函数有一个零点;
由(f(x)_{min}=k-klnk<0),解得(k> e),此时函数有两个零点;
故当(k<e)时,函数(f(x))没有零点;
当(k=e)时,函数(f(x))有一个零点;
当(k>e)时,函数(f(x))有两个零点;
法2:函数的零点个数问题,转化为(g(x)=e^x)和(h(x)=kx)的图像交点个数问题,
由图可知,
当(kleqslant k_0)((k_0)是二者相切时的直线的斜率)时,两个函数的图像没有交点,即原函数(f(x))没有零点;
当(k= k_0)时,两个函数的图像有一个交点,即原函数(f(x))有一个零点;
以下主要求解曲线(y=e^x)和直线(y=kx)相切时的斜率(k_0),
设相切时的切点为(P(x_0,y_0)),则有
(left{egin{array}{l}{y_0=e^{x_0}}\{y_0=k_0x_0}\{e^{x_0}=k_0}end{array} ight.) ,可求解得到(x_0=1),(y_0=e),(k_0=e),
即(k=e)时,两个函数的图像有一个交点,即原函数(f(x))有一个零点;
当(k>e)时,显然两个函数的图像有两个交点,即原函数(f(x))有两个零点;
故当(k< e)时,函数(f(x))没有零点;
当(k=e)时,函数(f(x))有一个零点;
当(k>e)时,函数(f(x))有两个零点;
高阶应用
分析 : 先求定义域为((0,+infty)),由于(f(x)=cfrac{{e}^{x}}{x^{2}}-k(cfrac{2}{x}+ln x)),
则(f'(x)=cfrac{e^xcdot x^2-e^xcdot 2x}{x^4}-k(-cfrac{2}{x^2}+cfrac{1}{x})) [此处,求导变形是大难点]
(=cfrac{e^xcdot x-e^xcdot 2}{x^3}+cfrac{2k}{x^2}-cfrac{k}{x})
(=cfrac{xe^x-2e^x}{x^3}+cfrac{2kx}{x^3}-cfrac{kx^2}{x^3})
(=cfrac{(x-2)e^x}{x^3}-cfrac{kx^2-2kx}{x^3})
(=cfrac{(x-2)e^x}{x^3}-cfrac{kx(x-2)}{x^3})
故得到,(f'(x)=cfrac{x-2}{x^{3}}(e^x-kx)),
又由于 (x=2) 是函数(f(x)) 的唯一极值点,故(x=2) 是 (f'(x)=0)的唯一的根[不是切点根],
[辅助说明,我们令(f'(x)=cfrac{x-2}{x^{3}}(e^x-kx)=0)时,必须让(x-2=0),由于(x^3>0),故需要(e^x-kx>0)或者(e^x-kx<0),但是当(e^x-kx<0),就会产生另外的极值点,故需要(e^x-kx>0)且(e^x-kx=0),当(e^x-kx=0)时,虽说方程会多出了解,但是其不是原函数的极值点,原因是此时对应的解是切点根]
故需要({e}^{x}-kx geqslant 0)注意,只要是相切为零的情形,即使为零也是满足题意的,只要不是相交为零即可。(quad) 在 ((0,+infty))上恒成立,
题目求解到此处,可以考虑用以下三种思路中的任意一种求解都是可以的:
思路1:从数的角度分析,令(g(x)={e}^{x}-kx(x>0)),只需要(g(x)_{min}geqslant 0),或另解此处也可转化为(kxleqslant e^x),即(kleqslant cfrac{e^x}{x})来求解,此时只需要借助导数工具,求解(cfrac{e^x}{x})在(x>0)上的最小值即可,其实((cfrac{e^x}{x})_{min}=e)
由于(g'(x)=e^x-k),且(x>0),分类讨论如下:
当(kleqslant 0)时,(g'(x)=e^x-k>0)恒成立,故函数(g(x))在((0,+infty))上单调递增,
由于(g(0)=1),故(g(x)geqslant 0)恒成立;
当(k>0)时,令(g'(x)=e^x-k=0),则得到(x=ln k),
故当(xin(0,lnk))时,(g'(x)<0),(g(x))单调递减,
当(xin(lnk,+infty))时,(g'(x)>0),(g(x))单调递增,
(g(x)_{min}=g(lnk)=k-klnk),由(k-klnkgeqslant 0),解得(0<kleqslant e),
综上所述,(kleqslant e),故选(A);
思路2:从形的角度分析,由(e^x-kxgeqslant 0)恒成立,
采用完全分离参数的方法,得到,(kleqslant cfrac{e^x}{x})在((0,+infty))上恒成立,
令(h(x)=cfrac{e^x}{x}),需要求(kleqslant h(x)_{min}),
又由于(h'(x)=cfrac{e^xcdot x-e^xcdot 1}{x^2}=cfrac{e^x(x-1)}{x^2}),
当(xin (0,1))时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减,当(xin (1,+infty))时,(h'(x)>0),(h(x))单调递增,
故(h(x)_{min}=h(1)=e),故(kleqslant e),故选(A);
思路3:从形的角度分析,由(e^x-kxgeqslant 0)恒成立,
采用不完全分离参数的方法,得到,(e^xgeqslant kx)在((0,+infty))上恒成立,
当(kleqslant 0)时,显然满足(e^x> kx)在((0,+infty))上恒成立,
当(k>0)时,包括在曲线(y=e^x)和直线(y=kx)相切的情形下(k=k_0),
即在(0<kleqslant k_0)时都满足(e^xgeqslant kx)在((0,+infty))上恒成立,
关键时求解曲线(y=e^x)和直线(y=kx)相切时的斜率(k_0),
设相切时的切点为(P(x_0,y_0)),则有
(left{egin{array}{l}{y_0=e^{x_0}}\{y_0=k_0x_0}\{e^{x_0}=k_0}end{array} ight.) ,可求解得到(x_0=1),(y_0=e),(k_0=e),
故(kleqslant e),故选(A);
注意事项
拆分原则:能拆分为静态函数的尽量拆分为静态,万一不能,动态函数越少越好,动态函数能过定点最佳;
函数的拆分有一定的技巧和原则,比如研究函数(f(x)=e^x-kx+k)的零点时,有以下的几种拆分思路:
思路一:拆分为函数(g(x)=e^x-kx)和(h(x)=-k);下下之选,当两个函数都含有参数时,两个函数都是动态图像;
思路二:拆分为函数(g(x)=e^x+k)和(h(x)=kx);下下之选,当两个函数都含有参数时,两个函数都是动态图像;
思路三:拆分为函数(g(x)=e^x)和(h(x)=kx-k=k(x-1));上上之选,一个静态图像,一个动态图像,且动态函数经过定点((1,0));