辅助角公式中系数含参

前言

参数求解

已知函数 (f(x)=asin x+cos x) ((a) 为常数， (x in R)) 的图象关于直线 (x=cfrac{pi}{6}) 对称，则函数 (g(x))(=)(sin x)(+)(acos x) 的图象【(quad)】

$A.$关于点$(cfrac{pi}{3}, 0)$对称

$B.$关于点$(cfrac{2pi}{3}, 0)$对称

$C.$关于直线$x=cfrac{pi}{3}$对称

$D.$关于直线$x=cfrac{pi}{6}$对称

分析：本题目实质是利用给定条件给出参数(a)的值，然后分析求解正弦型函数的各种性质；

法1：[常规解法]： 由于(f(x)=asin x+cos x=sqrt{a^2+1}sin(x+phi))，其中( anphi=cfrac{1}{a})，

又由于函数(f(x)) 的图象关于直线 (x=cfrac{pi}{6}) 对称，即(cfrac{pi}{6}+phi=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，

则(phi=kpi+cfrac{pi}{3})，(kin Z)，此处由于只强调辅助角(phi)的存在性，故赋值如下，

令(k=0)，则(phi=cfrac{pi}{3})，故有( anphi=cfrac{1}{a}= ancfrac{pi}{3}=sqrt{3})，即(a=cfrac{sqrt{3}}{3})，

所以 (g(x)=sin x+cfrac{sqrt{3}}{3} cos x=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(x+cfrac{pi}{6}))，

[此处用求解法]函数(g(x)) 的对称轴方程为 (x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，即(x=kpi+cfrac{pi}{3})，(k in Z)，

当 (k=0) 时，对称轴为直线 (x=cfrac{pi}{3}). 故选 (C).

法2[简单解法]: 因为函数 (f(x)=asin x+cos x) ((a) 为常数， (x in R)) 的图象关于直线 (x=cfrac{pi}{6}) 对称，

则利用对称性，可知 (f(0)=f(cfrac{pi}{3}))， 即(1=cfrac{sqrt{3}}{2}a+cfrac{1}{2})，

所以 (a=cfrac{sqrt{3}}{3})，所以 (g(x)=sin x+cfrac{sqrt{3}}{3} cos x=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(x+cfrac{pi}{6}))，

函数(g(x)) 的对称轴方程为 (x+cfrac{pi}{6}=kpi+cfrac{pi}{2})，(kin Z)，即(x=kpi+cfrac{pi}{3})，(k in Z)，

当 (k=0) 时，对称轴为直线 (x=cfrac{pi}{3}). 故选 (C).

【多项选择题】【自编对照】已知函数 (f(x)=asin x+cos x) ((a) 为常数， (x in R)) 的图象关于关于点((cfrac{pi}{3}, 0))对称，则函数 (g(x))(=)(sin x)(+)(acos x) 的图象【(quad)】

$A.$关于点$(cfrac{pi}{6}, 0)$对称

$B.$关于点$(cfrac{pi}{3}, 0)$对称

$C.$关于直线$x=cfrac{2pi}{3}$对称

$D.$关于直线$x=-cfrac{pi}{3}$对称

法1：[常规解法]： 由于(f(x)=asin x+cos x=sqrt{a^2+1}sin(x+phi))，其中( anphi=cfrac{1}{a})，

又由于函数(f(x)) 的图象关于点((cfrac{pi}{3}, 0))对称，即(cfrac{pi}{3}+phi=kpi)，(kin Z)，

则(phi=kpi-cfrac{pi}{3})，(kin Z)，此处由于只强调辅助角(phi)的存在性，故赋值如下，

令(k=0)，则(phi=-cfrac{pi}{3})，故有( anphi=cfrac{1}{a})，即( an(-cfrac{pi}{3})=-sqrt{3})，即(a=-cfrac{sqrt{3}}{3})，

所以 (g(x)=sin x-cfrac{sqrt{3}}{3}cos x=cfrac{2sqrt{3}}{3}sin(x-cfrac{pi}{6}))，

[此处用验证法]，对于选项(A)，当(x=cfrac{pi}{6})时，(g(cfrac{pi}{6})=0)，故选项(A)正确；

对于选项(B)，当(x=cfrac{pi}{3})时，(g(cfrac{pi}{3}) eq 0)，故选项(B)错误；

对于选项(C)，当(x=cfrac{2pi}{3})时，(g(cfrac{2pi}{3})=cfrac{2sqrt{3}}{3})，取到最大值，故选项(C)正确；

对于选项(D)，当(x=-cfrac{pi}{3})时，(g(cfrac{pi}{6})=-cfrac{2sqrt{3}}{3})，取到最小值，故选项(D)正确；

综上所述，应该选择选项(A)，(C)，(D)；

【2019(cdot)湖南十四校联考】已知函数 (f(x)=2sinomega x-cosomega x(omega>0))，若 (f(x)) 的两个零点 (x_{1})，(x_{2}) 满足 (|x_{1}-x_{2}|_{min }=2)，则 (f(1)) 的值为【(quad)】

$A.cfrac{sqrt{10}}{2}$ $B.-cfrac{sqrt{10}}{2}$ $C.2$ $D.-2$

法1: [常规解法]，先将(f(x)=2sinomega x-cosomega x=sqrt{5}sin(omega x-phi))，其中( anphi=cfrac{1}{2})，

此题目的难点是对数学符号(|x_{1}-x_{2}|_{min }=2)的理解，依题意可得(cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{min }=2)，

故函数的最小正周期(T=2 imes 2=4)，则(omega=cfrac{pi}{2})，

故解析式为(f(x)=sqrt{5}sin(cfrac{pi}{2} x-phi))

故(f(1)=sqrt{5}sin(cfrac{pi}{2}-phi)=sqrt{5}cosphi)，

[题目到此转化为已知( anphi=cfrac{1}{2})，求(sqrt{5}cosphi)的值的问题，这样就转化为常规问题了]，

由于( anphi=cfrac{1}{2})，故令(sinphi=k)，(cosphi=2k)((k>0))，

则由(k^2+4k^2=1)，解得(k=cfrac{sqrt{5}}{5})(舍去负值)，故(cosphi=2k=cfrac{2sqrt{5}}{5})，

故(f(1)=sqrt{5}cosphi=sqrt{5} imes cfrac{2sqrt{5}}{5}=2).

法2: [简单解法]此题目的难点是对数学符号(|x_{1}-x_{2}|_{min }=2)的理解，

依题意可得(cfrac{T}{2}=|x_{1}-x_{2}|_{min }=2)，

故函数的最小正周期(T=2 imes 2=4)，则(omega=cfrac{pi}{2})，

所以 (f(1)=2sincfrac{pi}{2}-coscfrac{pi}{2}=2)；