解三角形|三角变换的方向总结

前言

方向分析：

【2017(cdot)全国卷I改编】( riangle ABC) 的内角(A)、(B)、(C)的对边分别为 (a)、 (b)、 (c)， 已知(sin B)(+)(sin A)((sin C)(-)(cos C))(=)(0)， (a=2)， (c=sqrt{2})，则 (C)=________.

分析一：由题目的已知和求解内容，确定变形方向，

由于题目已知了边 (a) 和边 (c)，要求解角 (C)，结合正弦定理，我们猜想，肯定需要由给定的其他条件要得到角 (A)；

故针对(sin B)(+)(sin A)((sin C)(-)(cos C))(=)(0)思考，如何能得到角 (A)，而不是其他的；

也正因为这样，我们针对上述条件中的三个角，想到将角 (B) 转化，因为题目与它无关；

故采用(sin B=sin(A+C))，然后展开即可；

分析二：由给出的表达式确定变形方向，(sin B)(+)(sin A)((sin C)(-)(cos C))(=)(0)思考，

如果将(sin A)分配进去，得到(sin Asin C)和(sin Acos C)这两个部分，

我们发现他们都是两角和或者两角差的展开式的某一部分，故联想到改写，(sin B=sin(A+C))，然后展开即可；

解析：由(sin B)(+)(sin A)((sin C)(-)(cos C))(=)(0)，得到(sin(A+C))(+)(sin Asin C-sin Acos C)(=)(0)

打开得到，(sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0)

整理得到，(cos Asin C+sin Asin C=0)，即((cos A+sin A)sin C=0)，

约掉(sin C)，得到(sin A+cos A=0)，即( an A=-1)，由(Ain (0,pi))，

故(A=cfrac{3pi}{4})，再结合(a=2)， (c=sqrt{2})，使用正弦定理得到

(sin C=cfrac{ccdotsin A}{a}=cfrac{sqrt{2}sincfrac{3pi}{4}}{2}=cfrac{1}{2})，又(Cin (0,cfrac{pi}{4}))，

故(C=cfrac{pi}{6}).

应用

设(Delta ABC)的内角(A，B，C)所对的边分别为(a，b，c)，若(2sinAcosB=sinC),则(Delta ABC)的形状为【】

$A.直角三角形$ $B.等腰三角形$ $C.等腰直角三角形$ $D.等边三角形$

分析：由条件(2sinAcosB=sinC)得到，

(2sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB)，

整理得到(sinAcosB-cosAsinB=0)，即(sin(A-B)=0)，

故(A=B)，即为等腰三角形。

法2：角化边，(2cfrac{a}{2R}cdot cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=cfrac{c}{2R})，变形整理得到，

(a^2+c^2-b^2=c^2)，即(a^2=b^2)，则(a=b)，故为等腰三角形。

【2020安徽】已知 (acos (B-C)=cos A(2sqrt{3}cdot bcdot sin C-a))，

(1).求角(A)；

分析：本题目的三角变换的方向不好分析，稍不注意就会陷入变换的坑里面，跳不出来；一般题目中出现(cos(B-C))都是我们需要变换注意的地方，同时应该注意要消去角 (B) 和 (C)，不过为了达到这一目的，需要将(cos A=-cos(B+C))打开整理，与(cos(B-C))的展开式合并整理，这样结果一下子就清爽多了。

解析：由角化边得到，(sin Acos(B-C)=cos A(2sqrt{3}sin Bsin C-sin A))，

即(sin A(cos Bcos C+sin Bsin C)=2sqrt{3}sin Bsin Ccos A-sin Acos A))，

即(sin A(cos Bcos C+sin Bsin C+cos A)=2sqrt{3}sin Bsin Ccos A)，

即(sin A[cos Bcos C+sin Bsin C-cos(B+C)]=2sqrt{3}sin Bsin Ccos A)，

则(sin A(cos Bcos C+sin Bsin C-cos Bcos C+sin Bsin C)=2sqrt{3}sin Bsin Ccos A)，

即(2sin Asin Bsin C=2sqrt{3}sin Bsin Ccos A)，

即(sin A=sqrt{3}cos A)，即( an A=sqrt{3})，

由于(Ain (0,pi))，故(A=cfrac{pi}{3})；

(2).若三角形的周长(C_{ riangle ABC}=8)，其外接圆的半径为(R=sqrt{3})，求三角形的面积(S).

分析：由于(cfrac{a}{sin A}=2R=6)，(A=cfrac{pi}{3})， 故(a=3)，

又由于三角形的周长(C_{ riangle ABC}=8)，则(b+c=5)，

由(a^2=b^2+c^2-2bccos A)，即(3^2=(b+c)^2-2bc-bc)，即(3^2=5^2-3bc)，

故(bc=cfrac{16}{3})，(S_{ riangle ABC}=cfrac{1}{2}bcsin A=cfrac{1}{2} imes cfrac{16}{3} imes cfrac{sqrt{3}}{2}=cfrac{4sqrt{3}}{3}).