高次方程的解法

前言

高次方程在高中阶段，也就是在求解过点处的切线、穿根法求解不等式、等比数列中碰到过，不是很多。

定义方法

高次方程指次数等于或者大于 (3) 次的方程，高中学生主要求解的方程的次数大多是 (2) 次的方程，所以对高次方程的求解比较陌生。

与求解高次方程有关的方法主要有：试商法、多项式除法、分组分解法、十字相乘法等；

切线方程

求曲线(C:y=cfrac{1}{3}x^3+cfrac{4}{3})经过点(P(2，4))的切线方程；（(4x-y-4=0)或(x-y+2=0)）

思路：设经过点(P(2，4))的切线方程与曲线相切于点(P_0(x_0，y_0))，则有

(egin{cases}y_0=cfrac{1}{3}x_0^3+cfrac{4}{3}\ k=f'(x_0)=x_0^2\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) end{cases})

又因为点(P(2，4))在切线方程上，则有(4-(cfrac{1}{3}x_0^3+cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0))

整理得到，(x_0^3-3x_0^2+4=0)警示，此处有多个难点：试商法，多项式除法，分组分解法；

【试商法】：令(x_0=0)，如果上述方程成立，说明方程能分解出因子(x_0)，本题目中显然不成立；再令(x_0=1),上述方程不成立，说明方程不能分解出因子(x_0-1)；再令(x_0=-1),上述方程成立，说明方程能分解出因子(x_0+1)；这样(x_0^3-3x_0^2+4)(=(x_0+1))((x_0^2+bx_0+c))((b)，(c)是常数，待定)，这样做的目的是为了降次；

【分组分解法】：由试商法可以指导我们的分组分解的方向，

如(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1))

(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1))

(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3))

(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0)；

【多项式除法】：如图所示，

即((x_0+1)(x_0-2)^2=0)，解得(x_0=-1)，或(x_0=2)

当(x_0=-1)时，切点为((-1，1))，(k_1=1)，切线方程为(x-y+2=0)；

当(x_0=2)时，切点为((2，4))，(k_2=4)，切线方程为(4x-y-4=0)；

等比数列

【2021届高三文科资料用题】设数列 ({a_{n}}) 是等比数列， 前 (n) 项和为 (S_{n})， 若 (S_{3}=3a_{3})， 则公比 (q)=______________.

法1： 分类讨论法，针对 (q) 分类讨论如下：

当 (q eq 1) 时， 由题意得到， (cfrac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}=3a_{1}q^{2})，

即 (1-q^{3}=3q^{2}-3q^{3})，整理得 (2q^{3}-3q^{2}+1=0)，

[备注：接下来可以使用试商法，得到(q=1)为其一个根，另外还可以使用多项式除法求解剩余的因式，此处我们往往可以降低难度，使用初中的因式分解法]

则(2q^{3}-2-3q^{2}+3=0)，即(2(q^{3}-1)-3(q^{2}-1)=0)，则(2(q-1)(q^2+q+1)-3(q-1)(q+1)=0)，

即((q-1)(2q^2-q-1)=0)，即((q-1)^2(2q+1)=0)，

解得 (q=-cfrac{1}{2})，或 (q=1)(舍去)；

当 (q=1) 时，即 (S_{3}=3a_1=3a_{3})，显然成立.

故 (q=-cfrac{1}{2}) 或 (1)；

法2：使用求和的定义式求解，有效避免分类讨论；

由于 (S_{3}=3a_{3})，即 (a_1+a_2+a_3=3a_3)，即 (a_1+a_2-2a_3=0)，

由于数列 ({a_n}) 为等比数列，故 (a_1+a_1q-2a_1q^2=0)，

即(2q^2-q-1=0)， 解得 (q=-cfrac{1}{2}) 或 (1)；