等差与等比数列综合

前言

典例剖析

【2021届高三文科月考四用题】 已知 ({a_{n}}) 是等差数列， ({b_{n}}) 是各项都为正数的等比数列， (a_{1}=b_{2}=1)， 再从条件①、②、③这三个条件中选择两个作为已知条件，条件①: (a_{2}+a_{4}=10)，条件②：(b_{2}b_{4}=4)， 条件③： (b_{4}=a_{5})；

(1). 求数列 ({a_{n}}) 的通项公式.

(2). 求数列 ({b_{n}}) 的前 (n) 项和.

解析：[第一种选择]，选择条件①: (a_{2}+a_{4}=10)，和条件②：$ b_{2} b_{4}=4$，

(1). 设 ({a_{n}}) 的公差为 (d)， 由题意可得 (a_{1}=1)，((a_{1}+d)+(a_{1}+3 d)=10)，

解得 (a_{1}=1)， (d=2)， 则 (a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2n-1)， (nin N^{*}).

(2). 设 ({b_{n}}) 的公比为 (q(q>0))， 由题意可得 (b_{2}=1)，(b_{4}=4)，

则 (q^{2}=cfrac{b_{4}}{b_{2}}=4)， 解得 (q=2)， (b_{1}=cfrac{1}{2})，

所以数列 ({b_{n}}) 的前 (n) 项和为 (cfrac{frac{1}{2}(1-2^{n})}{1-2}=2^{n-1}-cfrac{1}{2}).

[第二种选择]：若选择条件①: (a_{2}+a_{4}=10)，条件③： (b_{4}=a_{5})；

则 (1).简解得到(a_1=1)，(d=2)，则 (a_n=2n-1)；

(2). 简解得到，(b_1=cfrac{1}{3})，(q=3)，则 (S_n=cfrac{1}{6}(3^n-1))；

[第三种选择]：若选择条件②：(b_{2}b_{4}=4)，条件③： (b_{4}=a_{5})；

则 (1). 由(b_2=1)以及(b_{2}b_{4}=4)，得到(b_4=4) 且 (q=2)，则(a_5=b_4=4)，

故(d=cfrac{a_5-a_1}{5-1}=cfrac{3}{4})，则得到 (a_n=cfrac{3}{4}n+cfrac{1}{4})；

(2). 由 (q=2)且(b_2=1) ，得到(b_1=cfrac{1}{2})，简解得到 (S_n=cfrac{1}{2}(2^n-1))；