2021届宝鸡质检[3]文数+参考答案

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参考答案

典例解析

【2021届宝鸡市质检3文第12题】 切比雪夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差 (E:) 对任意的 (x)(in)([m,)$ n]$， 函数 (y=|f(x)-(ax+b)|) 的最大值为 (E)， 即 (E=maxlimits_{mleqslant xleqslant n}|f(x)-(ax+b)|) . 把使 (E) 取得最小值时的直线 (y=ax+b) 叫切比雪夫直线， 已知 (f(x)=x^{2})， (xin[-1,2])，有同学估算出了切比雪夫直线中 (x) 的系数 (a=1)，在这个前提下，(b) 的值为 【(quad)】

$A.cfrac{1}{4}$ $B.1$ $C.cfrac{7}{8}$ $D.cfrac{11}{8}$

解析：由题可知，切比雪夫直线为 (y=x+b)，系数 (b) 待定，曲线为 (f(x)=x^2)， (xin [-1,2])

令 (g(x)=|x^2-x-b|)，则有

则 (E=maxlimits_{-1leqslant xleqslant 2}|x^2-x-b|=maxlimits_{-1leqslant xleqslant 2}|(x-cfrac{1}{2})^2-b-cfrac{1}{4}|=h(x))，

由于函数的最大值可能在左右端点处取到，此时 (E=h(x)=g(-1)=2-b)，也可能在对称轴处取到，此时 (E=h(x)=g(cfrac{1}{2})=b+cfrac{1}{4})，

其中由 (2-b=b+cfrac{1}{4})，可以求得 两个最值相等的临界值为 (b=cfrac{7}{8})，

故 (E=h(x)=left{egin{array}{l}2-b，&bleqslantcfrac{7}{8}\b+cfrac{1}{4}，&b>cfrac{7}{8}end{array} ight.)

接下来求解函数 (h(x)) 的最小值点，由分段函数可得，

在 (bleqslant cfrac{7}{8}) 时，(h(x)_{min}=cfrac{9}{8})，当 (b>cfrac{7}{8}) 时，(h(x)_{min}=cfrac{9}{8})，

故函数 (h(x)) 的最小值点为 (b=cfrac{7}{8})，故 (b=cfrac{7}{8})，故选 (C) .

【2021届宝鸡市质检3文第17题】已知函数 (f(x)=2cos^{2}x-2sqrt{3}sin xcos x-1)，

(1). 求函数 (f(x)) 的最小正周期；

(2). 在 (Delta ABC) 中，内角 (B) 满足 (f(B)=-2)， 且 (BC=4), (overrightarrow{AB}cdotoverrightarrow{AC}=8)， 求 (Delta ABC) 的周长.

解析：当求得 (b^2+c^2=32)以后，找不到另外一个独立的方程，此时应该这样想，需要用余弦定理或正弦定理得到关于 (b) 和 (c)的一个方程。

比如用余弦定理， (b^2=a^2+c^2-2cdot acdot ccdotcos B)，

【2021届宝鸡市质检3文第21题】 已知函数 (f(x)=2 ln x-x^{2}+1).

(1)求函数 (f(x)) 的最大值;

解析： (f'(x)=cfrac{2}{x}-2x=cfrac{2(1-x^{2})}{x}(x>0))，

当 (x in(0,1)) 时， (f'(x)>0)， 函数 (f(x)) 在此区间上是增加的；

当 (x in(1,+infty)) 时， (f'(x)<0)， 函数 (f(x)) 在此区间上是减少的，

所以，当 (x=1) 时，函数 (f(x)) 取得唯一极大值 (f(1)=0),

所以函数 (f(x)) 的最大值为 (0).

(2)证明 (: 3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2 n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)(n in N^{*})).

【证法1】: 由(1)可知，当 (x>1) 时， (f(x)<0)， 即 (2 ln x<x^{2}-1)，

令 (x=cfrac{n+1}{n}(nin N^{*}))， 则 (2lncfrac{n+1}{n}<(cfrac{n+1}{n})^{2}-1=cfrac{2n+1}{n^{2}})

即 (cfrac{2n+1}{n^{2}}>2lncfrac{n+1}{n})，

所以 (3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2(lncfrac{2}{1}+lncfrac{3}{2}+cdots+lncfrac{n+1}{n}))，

(=2[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+cdots+(ln (n+1)-ln n)]=2ln(n+1)(nin N^{*}))

故 (3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)) ((nin N^{*}))， 证毕.

【证法2】：由常用的不等关系 (e^x>x+1) ((x>0)) 开始证明，

令(g(x)=e^x-x-1)，则 (g'(x)=e^x-1)，由于 (x>0) ，则 (g'(x)>0)，

故函数 (g(x)) 在区间 ((0,+infty)) 上单调递增，故 (g(x)>g(0))，即 (e^x>x+1)，

令 (x=cfrac{2n+1}{n^2}>0) ，则 (e^{cfrac{2n+1}{n^2}}>cfrac{2n+1}{n^2}+1=cfrac{(n+1)^2}{n^2})，

两边取自然对数得到，(cfrac{2n+1}{n^2}>lncfrac{(n+1)^2}{n^2}=2ln(n+1)-2ln n)

给 (n)分别赋值(n=1)，(2)，(3)，(cdots)，(n)，得到

[cfrac{3}{1^2}>2ln2-2ln1, ]

[cfrac{5}{2^2}>2ln3-2ln2, ]

[cfrac{7}{3^2}>2ln4-2ln3, ]

[cdots,cdots,cdots, ]

[cfrac{2n+1}{n^2}>2ln(n+1)-2ln n, ]

以上 (n) 个式子累加，得到

(3+cfrac{5}{2^{2}}+cfrac{7}{3^{2}}+cdots+cfrac{2n+1}{n^{2}}>2ln(n+1)) ((nin N^{*})).

【证法3】：理科学生还可以利用数学归纳法证明；