导数的运算训练题

前言

公式法则

• 常用求导公式

原函数	导函数	原函数	导函数
(f(x)=C)((C)为常数)	(f'(x)=0)	(f(x)=x^{alpha})((alpha)为常数)	(f'(x))(sqrt{x}')(=)((x^{frac{1}{2}})')(=)(cfrac{1}{2})(x^{-frac{1}{2}})(=)(cfrac{1}{2sqrt{x}})，((x^{-1})')(=)(-cfrac{1}{x^2})；(=)(alpha)(cdot)(x^{alpha-1})
(f(x)=a^x)((a)为常数)	(f'(x))(=)(a^x)(cdot)(ln a)特例:((e^x)'=e^x)；	(f(x)=log_ax)((a)为常数)	(f'(x))特例:((ln x)'=cfrac{1}{x})(=)(cfrac{1}{xcdot lna})
(f(x)=sin x)	(f'(x)=cos x)	(f(x)=cos x)	(f'(x)=-sin x)

• 导数的四则运算法则：

加法：([f(x)+ g(x)]'=f'(x)+ g'(x))；

减法：([f(x)- g(x)]'=f'(x)- g'(x))；

乘法：([f(x)cdot g(x)]'=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)；)常用 ([k)(cdot)(f(x)]') (=) (k)(cdot)(f'(x)) ((k)常)
((x)(cdot)(ln x)()^{prime})(=)(1)(+)(ln x);
((e^{-2x})')(=)(-2)(e^{-2x})

除法：([cfrac{f(x)}{g(x)}]'=cfrac{f'(x)cdot g(x)-f(x)cdot g'(x)}{[g(x)]^2})

计算策略

• 计算原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式[即求导公式]求导的和、差、积、商的形式[即求导法则]，然后求导；
• 具体方法如下：

①.连乘积的形式：先展开化简为多项式的形式，再求导；

②.分式形式：观察函数的结构特征，考虑化为整式函数或部分分式形式的函数，再求导；

③.对数形式：先化为和、差形式，再求导；

④.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤.三角形式：先利用三角公式化为和或差的形式，再求导；

典例剖析

用导数的定义求函数(y=cfrac{1}{sqrt{x}})在(x=1)处的导数。

分析：(f'(x_0)=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x})

为便于表述和计算，记(f(x)=cfrac{1}{sqrt{x}})，

则(cfrac{Delta y}{Delta x}=cfrac{f(1+Delta x)-f(1)}{Delta x})(=cfrac{cfrac{1}{sqrt{1+Delta x}}-1}{Delta x})

(hspace{3em}=cfrac{cfrac{1-sqrt{1+Delta x}}{sqrt{1+Delta x}}}{Delta x})(=cfrac{1-sqrt{1+Delta x}}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}})

(hspace{3em}=cfrac{(1-sqrt{1+Delta x})cdot (1+sqrt{1+Delta x})}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})

(hspace{3em}=cfrac{-Delta x}{Delta xcdot sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})

(hspace{3em}=cfrac{-1}{sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})

则(limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0} cfrac{-1}{sqrt{1+Delta x}cdot (1+sqrt{1+Delta x})})(=-cfrac{1}{2})。

补遗：用公式法求解导数，由于(y=cfrac{1}{sqrt{x}}=x^{-frac{1}{2}})，则(y'=-cfrac{1}{2}x^{-frac{1}{2}-1})，

当(x=1)时，(y'|_{x=1}=-cfrac{1}{2}cdot 1^{-frac{1}{2}-1}=-cfrac{1}{2}).

求下列函数的导数：

①(y=(2x^2-1)(3x+1))；

解：首先将连乘积的形式展开化简为多项式的形式，

得到(y=6x^3+2x^2-3x-1)，故(y'=18x^2+4x-3)；

②(f(x)=cfrac{sqrt{x}+x^5+sin x}{x^2})

解：(f(x)=x^{-frac{3}{2}}+x^3+cfrac{sin x}{x^2})，

则(y'=-cfrac{3}{2}x^{-frac{5}{2}}+3x^2+cfrac{cos xcdot x^2-sin xcdot (2x)}{x^4})

(=-cfrac{3}{2}x^{-frac{5}{2}}+3x^2+cfrac{xcos x-2sin x}{x^3})

③(g(x)=-sincfrac{x}{2}(1-2cos^2cfrac{x}{4}))

解：首先化简为(g(x)=-sincfrac{x}{2}cdot (-coscfrac{x}{2})=cfrac{1}{2}sin x)，

则(g'(x)=cfrac{1}{2}cos x).

④(h(x)=ln(2x-5))

解：(h'(x)=cfrac{1}{2x-5}cdot (2x-5)'=cfrac{2}{2x-5})

⑤(m(x)=cfrac{1}{1-sqrt{x}}+cfrac{1}{1+sqrt{x}})

解：先通分化简为(m(x)=cfrac{2}{1-x})，

则(m'(x)=2cdot cfrac{0-1cdot (-1)}{(1-x)^2}=cfrac{2}{(1-x)^2})

⑥(y=e^{-3x}-1)

解：(y'=-3cdot e^{-3x})；

⑦(f(x)=lncfrac{x-1}{x+1})

解：(f(x)=ln(x-1)-ln(x+1))，

则(f'(x)=cfrac{1}{x-1}cdot 1-cfrac{1}{x+1}cdot 1)

(=cfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=cfrac{2}{(x-1)(x+1)})

⑧(g(x)=cfrac{-x+1}{e^{-x}})

解：(g'(x)=cfrac{-1cdot e^{-x}-(-x+1)cdot e^{-x}cdot(-1)}{(e^{-x})^2}=cfrac{e^{-x}[-1+(-x+1)]}{(e^{-x})^2}=cfrac{-x}{e^{-x}})

【2020届高二理科数学试题】已知(f(x)=e^{2x}+3x)，当(Delta x ightarrow 0)时，则分式(cfrac{f(-Delta x)-f(Delta x)}{Delta x})趋向于__________.

分析：回顾导数的定义式，$$limlimits_{Delta x o 0} cfrac{Delta y}{Delta x}=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$$

变形如下，由于(cfrac{f(-Delta x)-f(Delta x)}{Delta x})

(=cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})

(=cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]}{Delta x}+cfrac{-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})

故(limlimits_{Delta x o 0} cfrac{f(-Delta x)-f(Delta x)}{Delta x})

(=limlimits_{Delta x o 0}cfrac{-[f(0)-f(0-Delta x)]}{Delta x} +limlimits_{Delta x o 0} cfrac{-[f(0+Delta x)-f(0)]}{Delta x})

(=-f'(x)|_{x=0}-f'(x)|_{x=0}=-(2e^{2x}+3)|_{x=0}-(2e^{2x}+3)|_{x=0}=-10)

【思维训练题目】设(f(x)=x(x+1)(x+2)cdots (x+2013))，求(f'(0))的值；

分析：本题目的求解难点在于对函数(f(x))的拆分， 为什么要如下拆分，大家看完求解过程就清楚了。

令(g(x)=(x+1)(x+2)cdots (x+2013))，则(f(x)=xcdot g(x))，

则(f'(x)=g(x)+xcdot g'(x))，故(f'(0)=g(0)+0cdot g'(0)=1 imes 2 imes 3 imes cdots imes 2013)；

计算下列函数的导数

①函数(f(x)=(x^2+ax-1)e^{x-1})

分析：(f'(x)=(2x+a)e^{x-1}+(x^2+ax-1)e^{x-1}=e^{x-1}[x^2+(a+2)x+a-1])；

②函数(f(x)=(a+1)lnx+ax^2+1)，

求导得到(f'(x)=cfrac{a+1}{x}+2ax=cfrac{2ax^2+a+1}{x})，

实战演练

求导：(f(x)=cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}).

解：因为(f(x)=cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}})，

所以 (f'(x)=cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6 ight]{e}^{x}}{{e}^{2x}})

(=cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x})

(=-cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}) .

〖解后反思〗：求导的实战中，求导、通分、因式分解等运算往往都是连在一起的。

求导： (f(x)=a x-(a+2) ln x-frac{2}{x}-ln a(a>0)).

解： 易知 (x>0)， (a>0)，

则(f'(x)=a-cfrac{a+2}{x}+cfrac{2}{x^{2}}=cfrac{ax^{2}-(a+2)x+2}{x^{2}})

(=cfrac{(x-1)(ax-2)}{x^{2}}).

求导： (g(x)=2ln x+cfrac{1}{2}ax^{2}-(2a+1)x)，其中((a>0))；

解析： 定义域是 ((0,+infty))，(g(x)=2ln x+cfrac{1}{2}ax^{2}-(2a+1)x)，

则 (g^{prime}(x)=cfrac{2}{x}+ax-(2a+1)=cfrac{ax^{2}-(2a+1)x+2}{x})

(=cfrac{(x-2)(ax-1)}{x}=cfrac{a(x-2)left(x-cfrac{1}{a} ight)}{x})

求导： (f(x)=e^x(ax^2+x+a))

解析： (f'(x)=e^xcdot(ax^2+x+a)+e^xcdot(2ax+1))

(=e^x[ax^2+(2a+1)x+a+1]=e^x(ax+a+1)(x+1))

求导：(f(x)=e^{x}(e^x-a)-a^2x)

• 在高三的常见题目中，可能更多见的是这样的：(x)的本质为代数式，(x ightarrow e^x)

(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^xcdot e^x-a^2)

(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2)

(=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，

解后反思：在实际教学中，学生的问题是对代数式如何变形，变形的方向是什么不清楚，十字相乘法的使用不熟悉；

其中(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2)(令(e^x=t))的分解形式如下：

[Huge{_{2cdot e^x}^{1cdot e^x}{ imes}_{;a}^{-a}} ]

故(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)cdot (2e^x+a))，

(m(x)=cfrac{x^2+4x+2}{2e^x(x+1)})，此函数是通过分离参数得到的；

解析： (m'(x)=cfrac{(x^2+4x+2)'cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)cdot[2e^x(x+1)]'}{[2e^x(x+1)]^2})，

(=cfrac{(2x+4)cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)cdot2 [e^x(x+1)]'}{2^2e^{2x}(x+1)^2})

(=cfrac{(2x+4)cdot [2e^x(x+1)]-(x^2+4x+2)cdot2 [e^x(x+2)]}{2^2e^{2x}(x+1)^2})

(=cfrac{(2x+4)cdot (x+1)-(x^2+4x+2)cdot(x+2)}{2e^{x}(x+1)^2})

(=cfrac{(x+2)[2(x+1)-(x^2+4x+2)]}{2e^{x}(x+1)^2}) (qquad)此时先考虑分子分母能否约分，再考虑整理分子部分；

(=cfrac{(x+2)(-x^2-2x)}{2e^{x}(x+1)^2})

(=-cfrac{(x+2)x(x+2)}{2e^{x}(x+1)^2})

(=-cfrac{x(x+2)^2}{2e^{x}(x+1)^2})

(g(x)=-cfrac{e^x-frac{1}{2}x^3-x-1}{x^2})，此函数是通过分离参数得到的，2020全国卷Ⅰ的题目选摘；

解： (g'(x)=-cfrac{(e^x-frac{3}{2}x^2-1)cdot x^2-(e^x-frac{1}{2}x^3-x-1)cdot2x}{x^4})

(=-cfrac{(e^x-frac{3}{2}x^2-1)cdot x-2(e^x-frac{1}{2}x^3-x-1)}{x^3})

(=-cfrac{(x-2)e^x-frac{1}{2}x^3+x+2}{x^3}=-cfrac{(x-2)e^x-(frac{1}{2}x^3-x-2)}{x^3})

[备注：以下重点处理(cfrac{1}{2}x^3-x-2)的分解，由于(x=2)时，(cfrac{1}{2}x^3-x-2=0)，故指导我们这样分解因式，将-2拆分为(-4+2)，具体分解如下]

(cfrac{1}{2}x^3-x-2=cfrac{1}{2}x^3-4-x+2=cfrac{1}{2}(x^3-8)-(x-2))

(=cfrac{1}{2}(x-2)(x^2+2x+4)-(x-2))

(=(x-2)(cfrac{1}{2}x^2+x+2-1))

(=(x-2)(cfrac{1}{2}x^2+x+1))，

故 (g'(x)=cdots=-cfrac{(x-2)e^x-(frac{1}{2}x^3-x-2)}{x^3})

(=-cfrac{(x-2)e^x-(x-2)(frac{1}{2}x^2+x+1)}{x^3})

(=-cfrac{(x-2)(e^x-frac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3})

即，(g'(x)=-cfrac{(x-2)(e^x-frac{1}{2}x^2-x-1)}{x^3})