思维导图
- 利用 mermaid 制作的思维导图，用纯文字绘制思维导图；
其应用)] --> B[导数概念和运算]; B--> B1[导数的概念]; B1--> B6[平均变化率
类比平均速度]; B1--> B7{{瞬时变化率
也叫导数
类比瞬时速度}}; B--> B2[公式法求导数]; B--> B3[导数的运算法则]; B--> B4[复合函数的求导]; A --> C[导数几何意义及应用]; C--> C1[求切线方程]; C1--求导得斜率
点斜式写切线方程--> C4{{求在点处的切线}}; C1--设切点求切点
注意高次方程的求解--> C5{{求过点处的切线}}; C--> C2[求切点坐标/斜率等]; C--> C3[求参数值或取值范围]; C3--转化为二次函
数有两个实根--> C6[过某点有两条切线求参数]; C3--利用三个斜率
相等建立方程--> C7[已知公切线求参数]; A --> D[(用导数工
具研究函
数性质)]; D --> D1[相关知识储备] D1 --> E1>函数的单调性与导函数的关系] D1 --> E2[利用导数判断函数单调性的一般步骤] D1 --> E3>利用导数研究函数极值的步骤] D1 --> E4[利用导数研究函数最值的步骤] D --> D2[图象类题目
的考查] D2 --原函数的增减
对应导函数
的正负--> F1[利用原函数的图象确定导函数的图象] D2 --导函数的正负
对应原函数
的增减--> F2[利用导函数的图象确定原函数的图象]
研究函数
性质)] B-->A[其他类型
的函数] B---> C[(对三次函数
的研究考查)] C--> D[三次函数
有极大值和极小值] D--> D1[二次的导函数有两个变号零点,
对应的二次方程有两个不同的
实根,即其判别式大于零] C--> E[三次函数
与x轴有三个不同的交点] E--> D2[函数的极大值与极小值异号] C--> F[三次函数
恰有三个单调区间] F--> D1 C--> M[三次函数与x轴
恰有一个交点] M--> L[函数是单调函数
或函数的极大值
和极小值同号] C--> G[三次函数
没有极值或极值点] G--> G1[三次函数
是单调函数] C--> H[三次函数
是单调函数] H--> H1[二次导函数
恒为非正或
恒为非负,
即其判别式
小于等于零] G1--> H1 C--> I[三次函数
不是单调函数,
必有三个单调区间] I--> I1[二次导函数
有变号零点,
或二次导函数
方程有穿根解] I--> I2[可先求函数单
调时的取值范围,
再求其补集即可] style C fill:#bbf,stroke:#f66,stroke-2px,color:#fff,stroke-dasharray: 5 5; click C href "https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5906951.html" _blank;
典例剖析
解：对函数 (y=xe^{x}) 求导得， (y'=1cdot e^{x}+xcdot e^{x}=(1+x)e^{x})，
设切点坐标为 (Pleft(x_{0}, x_{0}{e}^{x} ight)),
则曲线 (y=xe^{x}) 过点 (A(a, 0)) 的切线的斜率 (k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})
又经过点(A(a,0))和切点(P)的直线的斜率为(k=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})，
由于是同一条直线，故(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0}=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})，
[备注：上述方程的两边同时约去(e^{x_0})，这样原来的超越方程就变化为代数方程，]
分式化整式，化简得到 (x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0)，依题意知，
上述关于(x_{0})的二次方程有两个不相等的实数根由于此方程有两个不相等的实根，故由(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})就能得到两个不同的斜率，结合点(A(a,0))，则能得到两条不同的切线，从而满足过点(A(a,0))的切线有且仅有两条；，
所以(Delta =(-a)^{2}-4 imes1 imes(-a)>0)， 解得 (a<-4) 或 (a>0)， 故选 (A) .
分析：由题可知，(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6))，
因为函数有极大值和极小值，所以方程 (f'(x)=0) 有两个不相等的实数根,
即 (3x^2+2ax+(a+6)=0) 有两个不相等的实数根， 即(Delta>0)，则((2a)^2-4 imes 3 imes(a+6)>0)，
解得: (a<-3)或(a>6)，故选 (D)。
[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 (f^{prime}(x)=0) 有两个不相等的实数根是解题的关键。
分析：由于(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1))，
故当(xin (-infty,-1))和((3,+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，
当(xin(-1,3))时，(f'(x)<0)，(f(x)) 单调递诚，
故(f(x)_{ ext{极大}}=f(-1)=cfrac{5}{3}-3a)， (f(x)_{ ext{极小}}=f(3)=-9-3a),
又(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点，
所以 (left{egin{array}{l}cfrac{5}{3}-3a>0\-9-3a<0end{array} ight.)，解得(ain(-3, cfrac{5}{9})).
[解后反思]：函数的零点个数问题或方程解的个数问题，可借助函数的导数符号，得到函数的单调性，再数形结合求得参数的取值范围。
解析：由题意知 (f'(x)=3ax^{2}+6x-1)，
由函数 (f(x)) 恰好有三个单调区间，
得(f'(x))有两个不相等的变号零点，
故需满足(a eq 0)，且 (Delta=36+12a>0)，
解得(a>-3)，所以实数 (a) 的取值范围是 ((-3,0) cup(0,+infty))，
故答案 (:(-3,0) cup(0,+infty))