导数章节题型和思维导图

思维导图

• 利用 mermaid 制作的思维导图，用纯文字绘制思维导图；

典例剖析

已知曲线 (C: y=x mathrm{e}^{x}) 过点 (A(a, 0)) 的切线有且仅有两条，则实数(a)的取值范围是【(qquad)】

$A.(-infty,-4)cup(0,+infty)$ $B.(0,+infty)$ $C.(-infty,-1)cup(1,+infty)$ $D.(-infty,-1)$

解：对函数 (y=xe^{x}) 求导得， (y'=1cdot e^{x}+xcdot e^{x}=(1+x)e^{x})，

设切点坐标为 (Pleft(x_{0}, x_{0}{e}^{x} ight)),

则曲线 (y=xe^{x}) 过点 (A(a, 0)) 的切线的斜率 (k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})

又经过点(A(a,0))和切点(P)的直线的斜率为(k=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})，

由于是同一条直线，故(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0}=cfrac{x_{0}e^{x_{0}}}{x_{0}-a})，

[备注：上述方程的两边同时约去(e^{x_0})，这样原来的超越方程就变化为代数方程，]

分式化整式，化简得到 (x_{0}^{2}-a x_{0}-a=0)，依题意知，

上述关于(x_{0})的二次方程有两个不相等的实数根由于此方程有两个不相等的实根，故由(k=left(1+x_{0} ight)e^{x}_{0})就能得到两个不同的斜率，结合点(A(a,0))，则能得到两条不同的切线，从而满足过点(A(a,0))的切线有且仅有两条；，

所以(Delta =(-a)^{2}-4 imes1 imes(-a)>0)， 解得 (a<-4) 或 (a>0)， 故选 (A) .

已知函数(f(x)=x^3+ax^2+(a+6)x+1)有极大值和极小值，则(a)的取值范围是【(qquad)】

$A.-1< a <2$ $B.-3< a <2$ $C.a<-1或a>2$ $D.a<-3或a>6$

分析：由题可知，(f'(x)=3x^2+2ax+(a+6))，

因为函数有极大值和极小值，所以方程 (f'(x)=0) 有两个不相等的实数根,

即 (3x^2+2ax+(a+6)=0) 有两个不相等的实数根， 即(Delta>0)，则((2a)^2-4 imes 3 imes(a+6)>0)，

解得: (a<-3)或(a>6)，故选 (D)。

[解后反思] 本题考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程 (f^{prime}(x)=0) 有两个不相等的实数根是解题的关键。

若函数(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点，则实数(a) 的取值范围是___________.

分析：由于(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1))，

故当(xin (-infty,-1))和((3,+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(xin(-1,3))时，(f'(x)<0)，(f(x)) 单调递诚，

故(f(x)_{ ext{极大}}=f(-1)=cfrac{5}{3}-3a)， (f(x)_{ ext{极小}}=f(3)=-9-3a),

又(f(x)=cfrac{1}{3}x^3-x^2-3x-3a) 的图像与 (x) 轴有三个不同的交点，

所以 (left{egin{array}{l}cfrac{5}{3}-3a>0\-9-3a<0end{array} ight.)，解得(ain(-3, cfrac{5}{9})).

[解后反思]：函数的零点个数问题或方程解的个数问题，可借助函数的导数符号，得到函数的单调性，再数形结合求得参数的取值范围。

【2020高三文数训练题】若函数(f(x)=ax^{3}+3x^{2}-x) 恰好有三个单调区间，则实数(a)的取值范围是_____________.

解析：由题意知 (f'(x)=3ax^{2}+6x-1)，

由函数 (f(x)) 恰好有三个单调区间，

得(f'(x))有两个不相等的变号零点，

故需满足(a eq 0)，且 (Delta=36+12a>0)，

解得(a>-3)，所以实数 (a) 的取值范围是 ((-3,0) cup(0,+infty))，

故答案 (:(-3,0) cup(0,+infty))

延申阅读

导数中的常见题型和破解思路01

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