不等式中的一类易错题

前言

求二元函数的和差的取值范围或者积商的取值范围。

不等式性质

注意：求解(x-y)类的范围，其实是用(x)加上(-y)的范围得到的；求解(cfrac{a}{b})的范围，其实是用(a)的范围乘以(cfrac{1}{b})的范围得到的；

练1已知(-1<x<4)，(2<y<3)，则(x-y)的取值范围是((-4,2))；(3x+2y)的取值范围是((1,18))；

练2已知实数(ain (1，3))，(bin (cfrac{1}{8}，cfrac{1}{4}))，则(cfrac{a}{b})的取值范围是((4,24))

分析：(4<cfrac{1}{b}<8)，(ain (1，3))，所以(4<cfrac{a}{b}<24)；

典例剖析

例1已知函数(f(x)=ax^2+bx，1leq f(-1)leq 2，2leq f(1)leq 4)， 求(f(-2))的取值范围。

已知二元函数的和差的范围，求其和差的范围；

【法1：错解】由(egin{cases}1leq f(-1)leq 2\2leq f(1)leq 4end{cases})得到(egin{cases}1leq a-b leq 2&①\2leq a+b leq 4&②end{cases})，

利用不等式的性质，将①②式相加减，得到(cfrac{3}{2}leq a leq 3，0leq b leq cfrac{3}{2})，

所以(6 leq 4a leq 12，-3leq -2b leq 0)，所以(3 leq 4a-2b leq 12)，

故$ 3 leq f(-2)=4a-2b leq 12$

错因分析：由于(left{egin{array}{l}{a>b}\{c>d}end{array} ight.)是(a+c>b+d)的充分不必要条件，故逆向推理不成立；

【错因分析】以上的解法打破了(a，b)取值的内在联系，它们的范围会发生变化，如由(cfrac{3}{2}leq a leq 3)，(0leq b leq cfrac{3}{2})，当我们取(a=cfrac{3}{2})，(b=cfrac{3}{2})时，很明显(a-b=0，a-b otin [1，2])，故只要解法中没有把(a-b)，(a+b)当成一个整体对待的都是有问题的解法。

【法2】待定系数法，令(f(-2)=mf(-1)+nf(1))，

则由(f(-2)=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b)，

又由已知可知(f(-2)=4a-2b)

所以由对应系数相等得到方程(egin{cases} m+n=4 \ m-n=2 end{cases})

解得(m=3，n=1)

又由于(1leq f(-1)leq 2)，$ 2leq f(1)leq 4$，

所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，

故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，

即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)。

【法3】：方程组法

由已知有(egin{cases} f(-1)=a-b \ f(\,\,\,\,1)=a+b end{cases})，

解得(egin{cases} a=cfrac{1}{2}cdot [f(-1)+f(1)] \ b=cfrac{1}{2}cdot [f(1)- f(-1)] end{cases})

所以(f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1))，

又由于(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)，

所以(3leq 3cdot f(-1)leq 6)，(2leq 1cdot f(1)leq 4)，

故(5leq 3cdot f(-1)+1cdot f(1)leq 10)，

即(5leq f(-2)=4a-2b leq 10)

【法4】：线性规划法

用线性规划分析错误原因：

解法1中得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})，

由此作图得到的是矩形(EFGH)，由条件(1leq f(-1)leq 2)，(2leq f(1)leq 4)得到的是矩形(ABCD)，

很显然两个矩形不一样，那么那个图形是对的？

我们可以看到在(Delta ADH)内部的点，由线性规划知识可知并不满足条件(1leq a-bleq 2)，(2leq a+bleq 4)，

因此得到单个的(a、b)的取值范围是(cfrac{3}{2}leq a leq 3)和(0leq b leq cfrac{3}{2})是错的，显然扩大了单个(a、b)的取值范围。

正解分析：由线性规划可知，

当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(A(cfrac{3}{2}，cfrac{1}{2}))时，

(z=4x-2y)有最小值，且(z_{min}=4 imescfrac{3}{2}-2 imescfrac{1}{2}=5)；

当直线(l_0：4x-2y=0)经过点(C(3，1))时，

(z=4x-2y)有最大值，且(z_{max}=4 imes3-2 imes1=10)；

例2已知(x，y)为正实数，满足(1leq lgxy leq 2)，(3leq lgcfrac{x}{y} leq 4，) 求(lg(x^4y^2))的取值范围。

已知二元函数的积商的范围，求其积商的范围；

【法1】：类比上例中的法3

(ecause 1leq lgxy leq 2， herefore 10leq xy leq 10^2，)

又(ecause 3leq lgcfrac{x}{y} leq 4， herefore 10^3leq cfrac{x}{y} leq 10^4，)

$ 10^3leq (xy)^3 leq 10^6，10^3leq cfrac{x}{y} leq 10^4，$

$ 10^6leq x^3cdot y^3 cdot cfrac{x}{y} =x^4cdot y^2 leq 10^{10}，$

$ 6leq lg(x^4y^2) leq 10$ ;

【法2】：类比上例中的法2

(1leq lgxy leq 2)，(3leq lgcfrac{x}{y} leq 4，)

(1leq lgx+lgy leq 2)，(3leq lgx-lgy leq 4，)

仿照上例中的解法2，求得恰当的系数，可得

(3leq 3lgx+3lgy leq 6)，(3leq lgx-lgy leq 4，)

所以同向不等式相加得到

(6leq 3lgx+3lgy+lgx-lgy leq 10)

即(6leq 4lgx+2lgy=lg(x^4y^2) leq 10)

$ 6leq lg(x^4y^2) leq 10$

【解后反思】之所以将这两个例题放在一起，是因为例1中涉及到两个变量的加减运算，而例2中涉及两个变量的乘除运算。

例3已知(-cfrac{pi}{2}<alpha<eta<cfrac{pi}{2})，①求(alpha-eta)的取值范围；②求(2alpha-eta)的取值范围；

分析：①已知条件等价转化为不等式组(left{egin{array}{l}{-cfrac{pi}{2}<alpha<cfrac{pi}{2} }\{ -cfrac{pi}{2}<eta<cfrac{pi}{2} }\{ alpha<eta }end{array} ight.)，

这样得到(-pi<alpha-eta<pi)，且(alpha-eta<0)，故(-pi<alpha-eta<0)，

②仿上，先转化得到(-pi<alpha-eta<0)，又由于(-cfrac{pi}{2}<alpha<cfrac{pi}{2})，

两个同向不等式相加，得到(-cfrac{3pi}{2}<2alpha-eta<cfrac{pi}{2})，