用二次函数研究三次多项式函数的零点问题

前言

由于三次多项式函数在高考中的考查频次比较高，其导函数为二次函数，故用二次函数研究三次多项式函数的零点问题，可以看成二次函数的又一个大作用。

典例剖析

案例设三次多项式函数(F(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a>0))，其导函数为二次函数(F'(x)=)(3ax^2)(+2bx)(+c)，导函数的判别式标记为(Delta)，

1、若(Deltaleq 0)，则(F'(x)ge0)恒成立，所以(F(x))在(R)上单调递增，有一个零点；

引申：若(Delta > 0)，则(F'(x)ge0)不恒成立，所以(F(x))在(R)上不是单调递增。

2、若(Delta > 0)，令(y=F'(x))的两个零点分别(m、n)，

则(F(x))在区间((-∞，m])单增，在区间([m,n])单减，在区间([n,+∞))单增，

此时函数(F(x))有极大值(F(m))，有极小值(F(n))，

我们结合导函数图像，可以作出原函数的草图，

• 若(F(m)>0，F(n)>0，)则 (F(x))有一个零点，有两个极值点；

• 若(F(m)=0，F(n)<0，)则 (F(x))有两个零点，有两个极值点；

• 若(F(m)<0，F(n)<0，)则 (F(x))有一个零点，有两个极值点；

• 若(F(m)<0，F(n)>0，)则 (F(x))有三个零点，有两个极值点；

• 若(F(m)>0，F(n)=0，)则 (F(x))有两个零点，有两个极值点。

例1【2014高考新课标Ⅰ卷理科，第11题】已知函数(f(x)=ax^3-3x^2+1)，若函数(f(x))存在唯一零点(x_0)，且(x_0>0)，则(a)的取值范围是【C】

$A(2，+infty)$ $B(1，+infty)$ $C(-infty，-2)$ $D(-infty，-1)$

【法1】：由于函数(f(x))存在唯一零点 (x_0)，且(x_0>0)，

则方程(f(x)=0)有唯一的正实数解，即(ax^3-3x^2+1=0)有唯一的正实数解，

即方程(a=cfrac{3x^2-1}{x^3})有唯一的正实数解，

即函数(y=a)和函数(y=h(x)=cfrac{3x^2-1}{x^3}=cfrac{3}{x}-cfrac{1}{x^3}(x>0))有唯一的交点，

其余思路待补充。

【法2】：先将题目转化为，方程(ax^3=3x^2-1)有唯一的正实数解，

则静态函数(y=3x^2-1)和动态函数(y=ax^3)只能在区间((0 ，+infty))上有交点，

此处需要我们知道函数(y=ax^3)的参变数(a)的作用，

由图像可知，当(aleq 0)时，都不满足题意，故需要(a<0)，

但当(a)取很小的负值时，显然满足题意，当(a)为某一个恰当的负值时，两个曲线在(x<0)时可能相切，

当然，此处你可能还会认为是有相切，还有相交，这不要紧，我们通过下述的计算就能回答这个疑惑。

设切点坐标为(P(x_0，y_0))，则有(x_0<0)，

则有(left{egin{array}{l}{3ax_0^2=6x_0}\{y_0=ax_0^3}\{y_0=3x_0^2-1}end{array} ight.)

解得(x_0=-1)，(y_0=2)，将切点(P(-1，2))代入(y=ax^3)，解得(a=-2)，

故当(a<-2)时，两条曲线在(x<0)上没有交点，只在(x>0)上有交点，故满足题意，

即(a)的取值范围时((-infty，-2))，故选(C)。

【法3】：利用导数方法，同时注意题目的隐含条件，(f(0)=1)，(f'(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2))，

①当(a=0)时，原函数为(y=-3x^2+1)，有两个零点，不符合题意，舍去。

②当(a>0)时，由导函数的图像可知，函数(f(x))在区间((-infty，0))上单调递增，在区间((0，cfrac{2}{a}))上单调递减，在区间((cfrac{2}{a}，+infty))上单调递增，

此时函数在区间((-infty，0))上必有一个零点，不符合题意，舍去。

③当(a<0)时，由导函数的图像可知，函数(f(x))在区间((-infty，cfrac{2}{a}))上单调递减，在区间((cfrac{2}{a}，0))上单调递增，在区间((0，+infty))上单调递减，

此时只需要函数(f(x))的极小值大于零即可，即(f(cfrac{2}{a})>0)，

即(acdot (cfrac{2}{a})^3-3cdot (cfrac{2}{a})^2+1>0)，化简得到(a^2>4)，

解得(a<-2)或(a>2)，又(a<0)，故(a<-2)。

即(a)的取值范围时((-infty，-2))，故选(C)。

(1).已知函数(f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d)的单调减区间为([-1,2])，求(b)，(c)的值.

即 (b=-cfrac{3}{2})，(c=-6)

(2).设(f(x)=ax^{3}+x)恰好有三个单调区间，求实数(a)的取值范围.

分析： (f^{prime}(x)=3a x^{2}+1)且(f(x))有三个单调区间

则方程 (f'(x)) (f^{prime}(x)=3a x^{2}+1=0)有两个不等的实根

即(Delta=0^{2}-4 imes 1 imes 3a>0)，解得(a<0)

故(a)的取值范围为((-infty, 0)).