独立重复实验与二项分布

前言

相关概念

• 独立重复试验

一般地，在相同条件下重复做的(n)次试验称为(n)次独立重复试验。请注意这一概念的抽象性，比如一个狙击手(10)次射击，就可以看成做了(10)次独立重复试验；再比如取了(5)个相同质量的灯泡，相当于做了(5)次独立重复试验。

介绍独立重复试验这一概念，是为二项分布做铺垫。

• 二项分布

一般的，在(n)次独立重复试验中，设事件(A)发生的次数为(X)，每次试验中事件(A)发生的概率为(p)，则事件(A)恰好发生(k)次的概率为(P(X=k)=C_n^kcdot p^kcdot (1-p)^{n-k})，((k=0，1，2，cdots，n))，此时称随机变量(X)服从二项分布，记为(Xsim B(n，p))，并称(p)为成功概率。

解释：二项展开式([p+(1-p)]^n=1)中，事件(A)发生(k)次，即对应展开式中的含(p^k)的项，其为(C_n^kcdot p^kcdot C_{n-k}^{n-k}cdot (1-p)^{n-k})，即(P(X=k)=C_n^kcdot p^kcdot (1-p)^{n-k})，

若随机变量(X)服从二项分布，记为(Xsim B(n，p))，则(E(X)=np)，(D(X)=np(1-p))；

简单应用

例1某吊灯上并联着(3)个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常工作的概率都是(0.7)，则在这段时间内吊灯能正常照明的概率是________．

解析：因为(3)个灯泡是并联，每个灯泡是否能正常照明是相互独立的，不受其他灯泡的影响，所以可以看成是(3)次独立重复试验。

设这段时间内能正常照明的灯泡的个数为(X)，即随机变量(X)服从参数为(3)和(0.7)的二项分布，即(Xsim B(3，0.7))，

这段时间内吊灯能照明表示3个灯泡中至少有1个灯泡能正常照明，即(X＞0)，

(P(X＞0)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.7)^3＝0.973)。

故这段时间内吊灯能正常照明的概率是为(0.973).

引例比如，某狙击手连续射击(10)次，每次击中目标的概率为(0.99)，试回答以下问题：

①每一次射击的事件(A_1)、(A_2)、(cdots)，(A_{10})之间的关系是什么？

分析：(A_1)、(A_2)、(cdots)，(A_{10})之间是相互独立的。

②10次射击中恰好前三次击中目标(事件(A))的概率；

分析：(0.99^3 imes0.01^7)，

③10次射击中恰好最后三次击中目标(事件(B))的概率。

分析：(0.99^3 imes0.01^7)

④事件(A)与事件(B)是什么关系？

分析：互斥，

⑤10次射击中恰好连续三次击中目标(事件(C))的概率。

分析：(8 imes0.99^3 imes0.01^7)

⑥事件(A、B)与事件(C)是什么关系？

分析：事件(C)包含事件(A，B)。

⑦10次射击中恰好有3次击中目标的概率。

分析：(C_{10}^3 imes0.99^3 imes0.01^7)，它包含前面的情形。