数列的周期性

前言

数列是特殊的函数，则数列在考查时，完全可能考查其周期性或单调性，本博文主要探究数列的周期性。数列的周期性体现为其一为数列的项的周期性；其二为某几项的和的周期性；

函数周期性

1、(f(x+4)=f(x))或者(f(x+2)=f(x-2)Longrightarrow T=4) 详细推导

2、(f(x+a)=-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a)

3、(f(x+a)=b-f(x)Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a)

4、(f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}(k eq 0)Leftrightarrow f(x+a)f(x)=k Longrightarrow T=2a);

5、(f(x+2)=f(x+1)-f(x)Longrightarrow f(x+3)=-f(x)Longrightarrow T=6)

6、(f(x+6)=f(x)+f(3))，且(f(x))为偶函数，(Longrightarrow T=6)(赋值法)

7、(f(x+6)=f(x)+nf(3)(nin N^*))，且(f(x))为偶函数，(Longrightarrow T=6)(赋值法)

数列周期性

务必注意：数列是特殊的函数，(a_n=f(n))，透彻理解这句话的内涵；

• (a_{n+2}=a_n)或(a_{n+2}-a_n=0)；则数列的(T=2)；

分析：类比(f(n+2)=f(n))，再类比(f(x+2)=f(x))；

• (a_{n+2}=-a_n)或 (a_{n+2}+a_n=0)；则数列的(T=4)；

分析：类比(f(n+2)=-f(n))，再类比(f(x+2)=-f(x))；

• (a_{n+2}=cfrac{k}{a_n})或(a_{n+2}cdot a_n=k)；(k)为常数；等积数列，则数列的(T=4)；

分析：类比(f(n+2)=cfrac{k}{f(n)})，再类比(f(x+2)=cfrac{k}{f(x)})，；

• (a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)或(a_{n+2}+a_n=a_{n+1})；则数列的(T=6)；

分析：类比(f(n+2)=f(n+1)-f(n))，再类比(f(x+2)=f(x+1)-f(x))；

• (a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1))；通过计算得到周期；

• 由(a_n+a_{n-1}=4(nge 2))，数列的周期为(T=2)；

分析：构造(a_{n+1}+a_n=4)，两式做差，得到(a_{n+1}-a_{n-1}=0)，即数列的周期为(T=2)；

典例剖析

已知数列({a_n})满足(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)，且(a_1=2，a_2=3)，则(a_{2016})的值为________。

法1：利用递推关系推导出数列的前有限项，周期自然就知道了。

由题目可知(a_1=2，a_2=3，a_3=a_2-a_1=1，a_4=a_3-a_2=-2)，

(a_5=a_4-a_3=-3，a_6=a_5-a_4=-1，a_7=a_6-a_5=2)，

即(a_7=a_1)，周期(T=6)，所以(a_{2016}=a_6=-1)

法2：由(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)可得到(a_{n+3}=a_{n+2}-a_{n+1})，两个式子相加，得到

(a_{n+2}=-a_{n-1})，用(n+1)替换(n)，得到(a_{n+3}=-a_n)，仿上可得

(a_{n+6}=a_{[(n+3)+3]}=-a_{n+3}=-(-a_n)=a_n)，故周期(T=6)，其余仿上完成。

已知数列({a_n})满足(a_{n+1}a_{n-1}=a_n(nge 2))，且(a_1=1，a_2=3)，则(a_{2016})的值为____________.

法1：利用递推关系推导出数列的前有限项，

(a_1=1，a_2=3，a_3=cfrac{a_2}{a_1}=3，a_4=cfrac{a_3}{a_2}=1)，

(a_5=cfrac{a_4}{a_3}=cfrac{1}{3}，a_6=cfrac{a_5}{a_4}=cfrac{1}{3}，a_7=cfrac{a_6}{a_5}=1)，

周期(T=6)，所以(a_{2016}=a_6=cfrac{1}{3}).

法2：由(a_{n+1}=cfrac{a_n}{a_{n-1}})可得，(a_{n+2}=cfrac{a_{n+1}}{a_n})，

两式相乘得到(a_{n+2}=cfrac{1}{a_{n-1}})，即(a_{n+3}=cfrac{1}{a_n})，

(a_{n+6}=a_{[(n+3)+3]}=cfrac{1}{a_{n+3}}=a_n)，

故周期(T=6)，其余仿上完成。

[补充迭代函数的周期性]已知函数(f(x) = egin{cases}2(1-x)，&0leq x leq 1，\ x-1， &1<xleq 2 ，end{cases})如果对任意的(nin N^*)，定义(f_n(x)=)(underbrace{f{f[fcdots f}_{n个}(x)]})，那么(f_{2016}(2))的值为多少？

分析：由题意，很自然想到本题是考察函数的周期，

所以计算前有限项观察周期，(f_1(2)=1，f_2(2)=0，f_3(2)=2，f_4(2)=1，cdots)，

所以周期(T=3)，所以(f_{2016}(2)=f_3(2)=2).

已知函数(f(x))满足(f(1)=cfrac{1}{2})，且(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y))，求(f(0))(+f(1))(+f(2))(+cdots)(+f(2016))的值.

法1：令(x=y=0)，则有(2f(0)=2f^2(0))，得到(f(0)=0或f(0)=1)；

再令(x=1，y=0)，则有(2f(1)=2f(1)f(0))，得到(f(0)=1)；

又题目已知(f(1)=cfrac{1}{2})，再令(x=1，y=1)，则有(f(2)+f(0)=2f(1)f(1))，得到(f(2)=-cfrac{1}{2})；

再令(x=2，y=1)，则有(f(3)+f(1)=2f(2)f(1))，得到(f(3)=-1)；

再令(x=3，y=1)，则有(f(4)+f(2)=2f(3)f(1))，得到(f(4)=-cfrac{1}{2})；

再令(x=4，y=1)，则有(f(5)+f(3)=2f(4)f(1))，得到(f(5)=cfrac{1}{2})；

再令(x=5，y=1)，则有(f(6)+f(4)=2f(5)f(1))，得到(f(6)=1)；

再令(x=6，y=1)，则有(f(7)+f(5)=2f(6)f(1))，得到(f(7)=cfrac{1}{2})；(cdots)

故周期为(T=6)，

(f(0)+f(1)+f(2)+cdots+f(2016))

(=336 imes(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5))=0).

【法2】：令(x=y=0)，则有(2f(0)=2f^2(0))，得到(f(0)=0或f(0)=1)；

再令(x=1，y=0)，则有(2f(1)=2f(1)f(0))，得到(f(0)=1)；

又题目已知(f(1)=cfrac{1}{2})，令(y=1)，则有(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x))，

即就是(f(x+1)+f(x-1)=f(x))，

由此得到(f(x+2)+f(x)=f(x+1))，两式相加得到(f(x+2)=-f(x-1))，

即(f(x+3)=-f(x))，故周期为(T=6)，

接下来只要计算(f(2)=-cfrac{1}{2}，f(3)=-1，f(4)=-cfrac{1}{2}，f(5)=cfrac{1}{2})的值即可，

说明：若令(x=0)，则得到(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y))，所以(f(-y)=f(y))，可知函数是偶函数。

(全国大联考，2016第三次联考第10题)设数列({a_n})前(n)项和为(S_n)，(a_{203}-a_{204}=a_{202}=1)，且(a_n)(+a_{n+1})(+a_{n+2})(=4)，则(S_{200})等于多少？

分析：本题目考查数列的单调性，由(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=4)，

得到(a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=4)，两式相减得到，(a_{n+3}=a_n)，故(T=3)，

又由(a_{202}+a_{203}+a_{204}=4)，(a_{202}=1)，及(a_{203}-a_{204}=1)，得到(a_{203}=2)，

又(a_{202}=1)，故(a_{201}=1)，(a_{200}=2)，(a_{199}=1)，又(200=66 imes 3+2)，

则有(S_{200}=66(a_1+a_2+a_3)+a_{199}+a_{200}=66 imes 4+2+1=267)。

【2019届高三理科数学课时作业】已知数列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=(-1)^n(a_n+1))，记(S_n)为其前(n)项和，则(S_{2018})=_______。

分析：带有((-1)^n)的数列更多的体现出周期性，所以计算其前几项发现：

(a_1=1)，(a_2=-2)，(a_3=-1)，(a_4=0)，(a_5=1)，(a_6=-2)，(cdots)，

即周期(T=4)，且有(a_1+a_2+a_3+a_4=-2)，

故(S_{2018}=504 imes(-2)+a_1+a_2=-1008+1-2=-1009).

【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第15题】数列({a_n})的通项公式是(a_n=n(sincfrac{npi}{2})(+coscfrac{npi}{2}))，其前(n)项的和为(S_n)，则(S_{2019})=_________。

分析：本题目考查数列的周期性和分组求和；由于(a_1=1)，(a_2=-2)，(a_3=-3)，(a_4=4)，(a_5=5)，(a_6=-6)，(a_7=-7)，(a_8=8)，(cdots)，

观察发现，(a_1+a_2+a_3+a_4=a_5+a_6+a_7+a_8=cdots=a_{2013}+a_{2014}+a_{2015}+a_{2016}=0)，且(a_{2017}=2017)，(a_{2018}=-2018)，(a_{2019}=-2019)，

所以(S_{2019}=0 imes cfrac{2016}{4}+2017-2018-2019=-2020)。

法2：思路提示，(a_n=n(sincfrac{npi}{2}+coscfrac{npi}{2})=ncdot sincfrac{npi}{2}+ncdot coscfrac{npi}{2}=b_n+c_n)，

然后分析数列({b_n})和({c_n})，

得到(b_{4k+1}+b_{4k+2}+b_{4k+3}+b_{4k+4}=-2)，

(c_{4k+1}+c_{4k+2}+c_{4k+3}+c_{4k+4}=2)，

故(a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}+a_{4k+4}=0)，其余同上；

【以表格形式给出周期】【2016.西安质检】对于函数(y=f(x))部分(x)与(y)的对应关系如下表：

数列({x_n})满足：(x_1=1)，且对于任意的(nin N_*)，点((x_n，x_{n+1}))都在函数(y=f(x))的图像上，

则(x_1+x_2+cdots+x_{2015}=?)

分析：这是一个很新颖的数列题目，但是和函数的列表法紧密结合，要顺利解答还需要一定的数学素养。

由题目可知(y=f(x)，x_{n+1}=f(x_n)，x_1=1)，

则有(x_2=f(x_1)=f(1)=3)；(x_3=f(x_2)=f(3)=5)；(x_4=f(x_3)=f(5)=6)；

(x_5=f(x_4)=f(6)=1)；(cdots，T=4)；

(sumlimits_{k=1}^{2015}{x_k}=503(x_1+x_2+x_3+x_4)+(x_1+x_2+x_3)=503 imes 15+9=7554)