常用逻辑用语知识点

四种命题

• 1、命题的定义，真命题，假命题

• 2、四种命题的关系

原命题(若(p)，则(q))；逆命题(若(q)，则(p))；否命题(若( eg p)，则( eg q))；逆否命题(若( eg q)，则( eg p))；

互逆关系：原命题和逆命题、否命题和逆否命题；

互否关系：原命题和否命题、逆命题和逆否命题；

等价关系：原命题和逆否命题、逆命题和否命题；即同真同假。

充要条件

1、如果(pRightarrow q)，则(p)是(q)的充分条件；

2、如果(qRightarrow p)，则(p)是(q)的必要条件；

3、如果满足(pRightarrow q)且(qRightarrow p)，记作(qLeftrightarrow p)，则(p)是(q)的充要条件(互为充要)；

4、如果满足(p Rightarrow q)且(q Rightarrow p)，则(p)是(q)的既不充分也不必要条件；

常用结论

1、若(p)是(q)的充分不必要条件，若(q)是(r)的充分不必要条件，则(p)是(r)的充分不必要条件[传递性]；

2、若(p)是(q)的充分不必要条件，则(q)是(p)的必要不充分条件；若(p)是(q)的充分不必要条件，则( eg q)是( eg p)的充分不必要条件；

若( eg p)是( eg q)的必要不充分条件，则(q)是(p)的必要不充分条件，(p)是(q)的充分不必要条件；

3、命题的否命题和命题的否定[如原命题是"若(p)，则(q)"]

则其否命题是：若( eg p)，则( eg q)；命题的否定：若(p)且( eg q)；

4、有关充要条件的语序问题：

①比如给定“(A)是(B)的充要条件”，则充分性是指：(ARightarrow B)，必要性是指：(BRightarrow A)，

②如果给定“(A)的充要条件是(B)”，则需要调整语序为“(B)是(A)的充要条件”，此时充分性是指：(BRightarrow A)，必要性是指：(ARightarrow B)，

使得(a>0,b>0)成立的一个必要不充分条件是【】

$A.a+b >0$ $B.a-b>0$ $C.ab >1$ $D.cfrac{a}{b}>1$

分析：本题是问下面的四个选项哪一个是题干(a>0,b>0)的必要不充分条件，如果从下面往上做，就有难度，如果调整语序，那么原题目是问(a>0,b>0)是哪一个选项的充分不必要条件，那么我们就很容易选择(A)是正确的。

5、题目中出现“若(p)或(q)为真命题，若(p)且(q)为假命题”，则意味着(p)、(q)必然一真一假，接下来需要分类讨论：(p)真(q)假；或(p)假(q)真；

题型方法

• 1、写出一个命题的其他三种命题形式：

①若不是“若(p)，则(q)”的形式，先改写；如“对顶角相等”。

②若有大前提，要保留；

• 2、判断一个命题的真假：直接法，等价转化法(等价关系：原命题和逆否命题、逆命题和否命题；即同真同假。)。

• 3、充分必要条件的判断：

①定义法，利用(pRightarrow q)和(qRightarrow p)来判断；

②集合法：利用集合之间的包含关系来间接判断命题之间的充要关系

若命题(p、q)的结果对应的集合是(A)、(B)，记为(A={xmid p{x}})，(B={xmid q{x}})，则有以下结论：

若(Asubseteq B)，则(p)是(q)的充分条件；若(Bsubseteq A)，则(p)是(q)的必要条件；

若(Asubsetneqq B)，则(p)是(q)的充分不必要条件；若(Bsubsetneqq A)，则(p)是(q)的必要不充分条件；

若(A=B)，则(p)是(q)的充要条件；若(A otsubseteq B)且(B otsubseteq A)，则(p)是(q)的既不充分也不必要条件；

③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题等价性，把要判断的原命题转化为逆否命题进行判断，这个方法特别适用于以否定形式给出的命题。

比如判断“(x+y eq 5)”是"(x eq 2)或(y eq 3)"的何种条件，不好判断，那么转化为判断"(x= 2)且(y= 3)"是"(x+y=5)"的什么条件，(充分不必要)。

• 4、命题的否定

①(p)的否定：( eg p)；

已知命题(p:)任意(ageqslant 0,) (a^4+a^2geqslant 0)，则命题( eg p:) 存在(a_0geqslant 0)，(a_0^4+a_0^2<0)。

②( eg p)的否定：( eg( eg p)=p)；

③(pland q)的否定：( eg(pland q)=( eg p)lor( eg q))；

④(plor q)的否定：( eg(plor q)=( eg p)land( eg q))；

⑤若(p)则(q)型命题的否定：( eg(p ightarrow q)=pland ( eg q))；根据真值表可以看出，若(p)则(q)型命题的否定，应该为：若(p)且( eg q)；而不是：若(p)则( eg q)；

教学研究

(p)或(q)去完成某个事情

[数学中]指仅仅(p)完成，或仅仅(q)完成，或(p)和(q)两个人完成，有三种情形；

[生活中]指仅仅(p)完成，或仅仅(q)完成，只有两种情形；

命题(p:)若(a^2<b^2)，则(a<b)；写出命题(p)的非命题；

思考1：我们知道，由于(a^2<b^2)，只能得到(|a|<|b|)，不能得到(a<b)，故命题(p)为假命题，

那么其否定命题( eg p)应该为真命题；按照命题的否定的写法，

( eg p)应该为：若(a^2<b^2)，则(ageqslant b)，但是我们知道这个也是假命题；

比如由(2^2<4^2)，不能得到(2geqslant 4)；说明这样的作法有问题；

思考2：若这样来思考，之所以我们认为命题(p)为假命题，是因为我们认为，对任意的(a^2<b^2)，都能得到(a<b)，

这是错误的，比如(2^2<(-3)^2)，但是不能得到(2<-3)，故为假命题；

这样我们按照全称命题的否定形式得到，( eg p:) 存在实数(a)，(b)，虽然(a^2<b^2)，但是(ageqslant b)成立；真命题；

开语句：无法判断其真假含有变元的语句，如(x+2>0)，开语句不是命题；

但实际教学中我们碰到的绝大多数为假言命题，如“若(p(x))，则(q(x))”，其并不是开语句，而是全称命题，只不过用语言表达时省略了全称量词，

如：若(x>3)，则(x>5)；即“任意大于(3)的实数都大于(5)”，而全称命题的否定是存在命题；

故其否定不是：若(x>3)，则(xleqslant 5)；而是：存在实数(x)，使得(x>3)且(xleqslant 5)；这显然是真命题。

补充： 设(pRightarrow A)，(qRightarrow B)，若(plor q)为真，则(p)和(q)中至少有一个为真；则只需要求(Acup B)即可；

常用否定词

原词语	否定词	原词语	否定词	原词语	否定词
等于	不等于	大于	不大于	小于	不小于
是	不是	能	不能	都是	不都是
至多有一个	至少有两个	至少有一个	一个也没有	任意的	某个
至多有(n)个	至少有(n+1)个	任意两个	某两个	所有的	某些

给出方式

• 若(pland q)为假，则(p)和(q)中至少有一个为假； 若(plor q)为真，则(p)和(q)中至少有一个为真；

• 若(pland q)为真，则(p)和(q)都为真； 若(plor q)为假，则(p)和(q)都为假；

• 若( eg pland q)为真，则( eg p)和(q)都为真，即(p)为假且(q)为真；

• 若( eg plor q)为假，则( eg p)和(q)都为假，即(p)为真且(q)为假；

• “若(plor q)为真命题，(pland q)为假命题”，则意味着(p)、(q)必然一真一假，需要分类讨论：(p)真(q)假；或(p)假(q)真；