前言
立几初步
几个易错概念
- 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱;(棱柱的定义中有三个条件呢)
- 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥。(比如三角楔子)
典例剖析
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若(Min alpha),(Min alpha),(alphacapeta=l),则(Min l);
④空间中,两两相交的三条直线在同一个平面内;
分析:对于①,借助墙角模型思考,两个平面垂直,其交线中有(3)个公共点,但是其位置关系不是重合,而是相交[垂直];所以①错误;
对于②,先回顾两条直线的位置关系有平行、相交、异面三种,其中两条平行或者相交的直线是可以确定一个平面的,但是若是异面的直线就不能确定一个平面,故②错误;
对于③,需要翻译成文字语言容易理解,两个平面的公共点(M)一定在两个平面的公告交线上,故正确;
对于④,需要考虑两两相交的三条直线的交点个数问题,若交点个数是一个,那么在空间中,三条直线可以是异面的直线,故不在同一平面内,若交点的个数是三个,那么它们一定会共面,在同一个平面内,故④错误;另外,两两相交的三条直线的交点个数不会是两个。
综上所述,本题目选(A).
求证:(1)直线(DE//)平面(A_1C_1F).
分析:现在需要(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)直线(DE//)平面(A_1C_1F)内的某直线(?)
某条直线可能是三角形的边界线,三角形中线,高线,中位线,或者需要我们做出的某条辅助直线。
证明:因为(D)、(E)分别是(AB)、(BC)的中点,则有(DE//AC//A_1C_1),
又因为直线(A_1C_1subsetneqq)平面(A_1C_1F),
(DE otsubseteq)平面(A_1C_1F),则直线(DE//)平面(A_1C_1F)。
求证(2)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F).
分析:(Leftarrow)平面(B_1DEperp)平面(A_1C_1F)
(Leftarrow)一个面内的某条直线(perp)另一个面内的两条相交直线。
此时往往需要结合图形及已知条件来确定,比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线(A_1F),
那么此时就需要在另一个平面(B_1DE)内找两条相交直线,且都要能证明和直线(A_1F),
如果能找到,则这样的思路就基本固定下来了,
思路一大致为:(A_1Fperpegin{cases}B_1D\DEend{cases}),
从而转证(DEperp A_1F),从而转证(A_1C_1perp A_1F),
从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1),
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\A_1Aend{cases});
思路二大致为:(B_1Dperpegin{cases}A_1F\ A_1C_1end{cases}),
从而转证(A_1C_1perp B_1D),
从而转证(A_1C_1perp)包含(B_1D_1)的平面(ABB_1A_1),
从而转证(A_1C_1perpegin{cases}A_1B_1\ A_1Aend{cases});
证明:你能自主写出证明过程吗?
【反思提升】上述解答中的思路一中,在分析需要证明(A_1Fperp DE)时,包含了视角上的转换,如证明(A_1Fperp DE)不容易时,我们转而证明(DEperp A_1F),即转证(A_1C_1perp A_1F),从而接下来就可以考虑证明线面垂直,从而转证(A_1C_1perp)包含(A_1F)的平面(ABB_1A_1),
(1).求证:平面(BEFperp)平面(PCD).
证明:因为(E)为(CD)的中点,(CD=2AB),则(AB=DE),又因为(AB//CD),所以四边形(ABED)为平行四边形。
又因为(BC=BD),(E)为(CD)的中点,故(BEperp CD),则四边形(ABED)为矩形,则(ABperp AD)。
又因为(ABperp PA),(PAcap AD=A),所以(ABperp 平面PAD)。
又因为(AB//CE),所以(CDperp 平面PAD),所以(CDperp PD)。
又因为(EF//PD),所以(CDperp EF)。又因为(CDperp BE),所以(CDperp 平面BEF)。所以平面(PCDperp 平面BEF)。
(2).求直线(PD)与平面(PBC)所成角的正弦值。
待补充。
(1)求证:(EFperp 平面BCG)
分析提示:只要证明(ADperp 平面BCG)
(2)求三棱锥(D-BCG)的体积。
分析:在平面(ABC)内,作(AOperp BC),交(CB)延长线于(O),由平面(ABCperp BCD),可知(AOperp 平面BDC),
由(G)到平面(BCD)距离(h)是(AO)长度的一半,在(Delta AOB)中,(AO=ABcdot sin60^{circ}=sqrt{3}),
故(V_{D-BCG}=V_{G-BCD}=cfrac{1}{3}S_{Delta DBC}cdot h)(=cfrac{1}{3}cdot cfrac{1}{2}cdot BDcdot BC)(cdot sin120^{circ}cdot cfrac{sqrt{3}}{2})(=cfrac{1}{2})。
(1)体对角线(B'Dperp)平面(ACD')(如图1)
证明:令体对角线(B'D)和平面(ACD')的交点是(N),由正四面体(B'-ACD')可知,
(N)是三角形底面的中心,连接(OD'),则易知(ACperp BD),(ACperp BB'),故(ACperp B'D),
同理(AD'perp B'D),故体对角线(B'Dperp)平面(ACD')。
(2)(DN=cfrac{1}{3}B'D)(如图1,利用等体积法)
(3)平面(ACD'//A'BC')(如图2)
(4)平面(ACD')与平面(A'BC')的间距是(cfrac{1}{3}B'D),即体对角线的(cfrac{1}{3})(如图2)
(5)三棱锥(B'-ACD')是正四面体。三棱锥(D-ACD')是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体,我们可以先画出正方体,然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
(7)圆内接正方形的中心就是圆心,正方形的对角线的长度就是圆的直径;球内接正方体的中心就是球心,正方体的体对角线的长度就是球的直径。
(8)正方形的棱长设为(2a),则正方形的内切圆半径为(a),正方形的外接圆半径为(sqrt{2}a),三者的关系之比为(2:1:sqrt{2});
正方体的棱长设为(2a),则正方体的内切球半径为(a),正方体的外接球半径为(sqrt{3}a),三者的关系之比为(2:1:sqrt{3});
(9)正三角形的棱长设为(2a),则正三角形的内切圆半径为(cfrac{sqrt{3}}{3}a),正三角形的外接圆半径为(cfrac{2sqrt{3}}{3}a),三者的关系之比为(2sqrt{3}:1:2);
正四面体的棱长设为(2a),则正四面体的内切球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{6}a),正四面体的外接球半径为(cfrac{sqrt{6 }}{2}a),三者的关系之比为(2sqrt{6}:1:3);
仿上,我们可以将此三棱锥还原为正方体的一部分,且正方体有个外接球,那么点(Q)到平面(ABC)的距离的最大值即是正方体的体对角线的(cfrac{2}{3}),而体对角线长为(sqrt{2^2+2^2+2^2}=2sqrt{3}),故所求值为(cfrac{4sqrt{3}}{3})。
分析:本题目关键是求球的半径(R) ,如上例4中的模型,已知的三点可以安放在图中的点(A')、(B)、(C')处,
但是要注意,已知的平面(ABC)和模型中的平面(A'BC')平行,不一定重合,此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了,
而且此时正三棱锥的底面边长为(2sqrt{3}),正三棱锥的高是1,高的垂足(E)是下底面的中心,
则其侧棱(OA)为(sqrt{1^2+2^2}=sqrt{5}),故(R=sqrt{5}),
故该球的体积(V_球=cfrac{4}{3}cdot picdot R^3=cfrac{20sqrt{5}}{3}pi)。
(1).证明:(BDperp)平面(PAC);
证明:由于侧棱(PAperp)底面(ABCD),(BDsubsetneqq)底面(ABCD),故(PAperp BD);
又由于(AC)和(BD)是正方形的对角线,则(ACperp BD),
则(BDperp AC),(BDperp PA),(PAcap AC=A),
(PAsubsetneqq)平面(PAC),(ACsubsetneqq)平面(PAC),
故(BDperp)平面(PAC);
(2).求二面角(C-BD-Q)的余弦值。
分析:由题可知,(AB、AP、AD)两两垂直,以(A)为坐标原点,分别以(AB、AD、AP)所在直线为(x,y,z)轴建立空间直角坐标系,如图所示。
则点(B(2,0,0)),(C(2,2,0)),(D(0,2,0)),(Q(0,0,1)),
所以(overrightarrow{BD}=(-2,2,0)),(overrightarrow{BQ}=(-2,0,1)),
设平面(BDQ)的法向量为(vec{m}=(x,y,z)),则有
(egin{cases}vec{m}perpoverrightarrow{BD}\vec{m}perpoverrightarrow{BQ}end{cases}) (Longrightarrow egin{cases}vec{m}cdotoverrightarrow{BD}=0\vec{m}cdotoverrightarrow{BQ}=0end{cases})
即(egin{cases}-2x+2y=0\-2x+z=0end{cases}),可以取(vec{m}=(1,1,2))
平面(BDC)的法向量为(vec{n}=(0,0,1)),
设二面角(C-BD-Q)为( heta),由图可知,( heta)为钝角,则有
(cos heta=-|cos<vec{m},vec{n}>|=-cfrac{vec{m}cdotvec{n}}{|vec{m}||vec{n}|}=-cfrac{2}{sqrt{6}}=-cfrac{sqrt{6}}{3})
所以二面角(C-BD-Q)的余弦值为(-cfrac{sqrt{6}}{3})。
分析:在棱(PC)上存在一点(F),(F)为(PC)的中点,使得(BF//)面(AEC),理由如下:
取(PE)的中点(H),(PC)的中点(F),联结(BF)、(HF)、(BH),联结(AC)和(BD),交点为(O),
则由(HF)是(Delta PEC)的底边(EC)的中位线,故(HF//EC);
由(EO)是(Delta DBH)的底边(BH)的中位线,故(BH//EO);
(说明:这样的话,平面(BHF)内的两条相交直线(HF)和(BH)分别平行与另一个平面(AEC)内的两条相交直线(EO)和(EC),则这两个平面就平行)
又由于(HFsubsetneqq)平面(BHF),(BHsubsetneqq)平面(BHF),(BHcap HF=H),
(EOsubsetneqq)平面(AEC),(ECsubsetneqq)平面(AEC),(EOcap EC=E),
则平面(BHF//)平面(AEC),
又(BFsubsetneqq)平面(BHF),
则有(BF//)平面(AEC),猜想得证。
分析:选(C);可以借助长方体模型或正方体模型来判断线面位置关系;主要使用排除法;
分析:由于题目中给定点(O)是下底面的中心,故我们想到也做出上底面的中心(E),如图所示,
当连结(CE)时,我们就很容易看出(A_1O//CE),以下做以说明;
由于(OC//A_1E),且(OC=A_1E),则可知(A_1O//CE),
又由于(A_1O ot subset 面B_1CD_1),(CE subset 面B_1CD_1),故(A_1O//平面B_1CD_1) ,故选(C),
此时,我们也能轻松的排除(A),(B),(D)三个选项是错误的。
(1).在图中作出平面(MNPQ),使面(MNPQ//面SAD)(不要求证明);
分析:如图所示,点(P、Q)分别是线段(CD、AB)的中点,联结(NP、PQ、QM)所得的平面即为所求做的平面。
反思总结:1、一般的考法是题目作出这样的平面,然后要求我们证明面面平行,现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面,应该是要求提高了。
2、注意图中的线的虚实。
(2).【文】若(|overrightarrow{AB}|=4),在(1)的条件下求多面体(MNCBPQ)的体积。
【理】若(overrightarrow{AQ}=lambda overrightarrow{AB}),是否存在实数(lambda),使二面角(M-PQ-B)的平面角大小为(60^{circ})?若存在,求出(lambda)的值;若不存在,请说明理由。
【文科】法1:
如图所示,连接(PB、NB),有题目可知在(1)的情形下,平面(MNPQ)与平面(ABCD)垂直,由题目可知,(AB=4),(BC=PC=2),(SD=2),(NP=1),
则(SDperp面ABCD),(NP//SD),则(NPperp 面ABCD),
(Delta PCB)是边长为2的等边三角形,则(V_{N-PBC}=cfrac{1}{3}cdot S_{Delta PBC}cdot |NP|=cfrac{1}{3}cdot cfrac{sqrt{3}}{4}cdot 4cdot 1=cfrac{sqrt{3}}{3})
由(MN//BC),(MN perp面SAD),面(MNPQ)是直角梯形,(MN=NP=1),(PQ=2)
连接(BD)交(PQ)于点(H),在(Delta ABD)中,由余弦定理可知,(BD=2sqrt{3}),(AB^2=AD^2+BD^2),则(BDperp AD)
即(BHperp PQ),且(BHperp NP),故(BHperp 面MNPQ),
(V_{B-MNPQ}=cfrac{1}{3}cdot S_{MNPQ}cdot |BH|=cfrac{1}{3}cdot cfrac{(1+2)cdot 1}{2}cdot sqrt{3}=cfrac{sqrt{3}}{2})
故(V_{MNCBPQ}=V_{B-MNPQ}+V_{N-PBC}=cfrac{sqrt{3}}{2}+cfrac{sqrt{3}}{3}=cfrac{5sqrt{3}}{6})。
法2:
待补充。
【理科】待补充。