函数的凹凸性

前言

函数的凹凸性是函数的性质之一，其主要是为了刻画函数的单调性中增长率的不同变化情形而引入的，有了它的加盟，我们对函数的单调性就能描述的更准确，更细腻。

函数凹凸性

• 在高中阶段，有的题目中会涉及到函数的凹凸性，简单做个介绍。如图所示，函数(y=f(x))就是上凸函数的图像例子。

• 那么高中阶段怎么定义函数的凹凸性呢？

如上图中的函数(f(x))，在区间(D)上，如果对任意的(x_1)，(x_2)，从形上直观的看，会发现其图像是向上凸起的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足(f(cfrac{x_1+x_2}{2})>cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2})，那么就说函数在区间(D)上是上凸函数；

同理，如上图中的函数(f(x))，在区间(D)上，如果对任意的(x_1)，(x_2)，从形上直观的看，会发现其图像是向下凹陷的，从函数值的角度来总结描述会发现，其总满足(f(cfrac{x_1+x_2}{2})<cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2})，那么就说函数在区间(D)上是下凹函数；

已经学过

我们高中学过的上凸函数如(f(x)=lnx)，(f(x)=sqrt{x-1})，再比如函数(f(x)=-x^2)等；下凹函数如(f(x)=x^2)，(y=2^x)等，还有一部分上凸一部分下凹的函数如(f(x)=x^3)等。

• 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。

函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；

增长率逐渐增大型：如函数$y=m(x)$；

增长率逐渐减小型：如函数$y=n(x)$；

增长率恒定不变型：如函数$y=f(x)$；

增长率先慢后快型：如函数$y=g(x)$；

增长率先快后慢型：如函数$y=h(x)$；

• 函数的导数与函数的凹凸性：

函数(y=f(x))在区间([a，b])满足(f'(x)>0)，则函数在区间([a，b])上单调递增；

满足(f'(x)<0)，则函数在区间([a，b])上单调递减。

若(f''(x)>0)，则函数(f(x))为凹函数；若(f''(x)<0)，则函数(f(x))为凸函数。

引例，如函数(y=f(x)=x^3)，(f'(x)=3x^2ge 0)，故函数(f(x)=x^3)在((-infty，+infty))上单调递增，

(f''(x)=6x)，当(x>0)时，(f''(x)>0)，当(x<0)时，(f''(x)<0)，

故函数(f(x)=x^3)，在区间((0，+infty))上为凹函数，在区间((-infty，0))上为凸函数。

凹凸性应用：

例1【与图像有关的题目】

• 补充解析：当杯中水的高度(h)沿着线段(OA)增长时，由于线段(OA)的斜率是固定不变的，故容器必然会是上下大小一致的，

当杯中水的高度(h)沿着上凸形曲线(OA)增长时，由于上凸形曲段(OA)的斜率是由大到小变化的，故容器必然会是上大下小形的，

当杯中水的高度(h)沿着下凹形曲线(OA)增长时，由于下凹形曲线(OA)的斜率是由小到大变化的，故容器必然会是下大上小形的，

例2已知函数(f(x)=e^x-1)，对于满足(0＜x_1＜x_2＜e)的任意(x_1)、(x_2)，给出下列结论：

①((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0)；

②(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2))；

③(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1)；

④(cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(cfrac{x_1+x_2}{2}))；

其中正确结论的序号是【②③④】．

分析：由于函数(f(x)=e^x-1)在区间([0，e])上单调递增，

对于选项①而言，函数(f(x))单调递减，故①错误；

对于选项②变形得到，(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2))；即(cfrac{f(x_1)}{x_1}<cfrac{f(x_2)}{x_2})；

即(cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0})；借助图像很容易说明②正确；

对于选项③而言，变形得到(cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0)，即函数单调递增，故③正确；

对于选项④而言，刻画的是函数的凹凸性，也是正确的，故正确结论的序号是【②③④】．