函数与方程的习题

例1已知函数(f(x)＝-x^2+2ex+m-1，g(x)＝x+cfrac{e^2}{x}(x>0))．

(1)若(y＝g(x)-m)有零点，求(m)的取值范围；

(2)确定(m)的取值范围，使得(g(x)－f(x)＝0)有两个相异实根．

解析：(1) 因为(g(x)＝x+cfrac{e^2}{x}ge 2sqrt{e^2}=2e)，等号成立的条件是(x=e)，

故(g(x))的值域是([2e，+infty))，

因而只需(m≥2e)，则(y＝g(x)-m)就有零点。

(2) 若(g(x)-f(x)＝0)有两个相异实根，即(g(x))与(f(x))的图像有两个不同的交点，

作出(g(x)＝x+cfrac{e^2}{x}(x>0))的大致图像如图．

因为(f(x)＝-x^2+2ex+m-1=-(x－e)^2+m-1+e^2).

所以其图像的对称轴为(x＝e)，开口向下，

最大值为(m-1+e^2)，故当(m-1+e^2>2e)，即(m>－e^2+2e+1)时，

(g(x))与(f(x))有两个交点，即(g(x)-f(x)=0)有两个相异实根，

所以(m)的取值范围是((-e^2+2e+1，+infty))．

例2函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，xleq 0\xlnx，x>0end{cases})，(g(x)=kx-1)，若方程(f(x)-g(x)=0)在(xin(-2，2))有三个实根，则实数(k)的取值范围是【】

$A.(1，ln2sqrt{e})$ $B.(ln2sqrt{e}，cfrac{3}{2})$ $C.(cfrac{3}{2}，2)$ $D.(1，ln2sqrt{e})cup(cfrac{3}{2}，2)$

分析：显然(x=0)不是方程(f(x)-g(x)=0)的根，故可变形为(k=cfrac{f(x)+1}{x})，

设(phi(x)=cfrac{f(x)+1}{x}=egin{cases}x+cfrac{1}{x}+4，x<0\cfrac{1}{x}+lnx，x>0end{cases})，即(k=phi(x))在(xin(-2，2))有三个实根，

用导数方法研究函数(phi(x))的单调性，做出其图像

由图像可得，要使得函数(y=k)与函数(y=phi(x))有三个交点，则(kin (1，ln2sqrt{e})cup(cfrac{3}{2}，2))

例3【二元函数，待解析】若存在两个正实数(x，y)，使得等式(3x+a(2y-4ex)cdot(lny-lnx)=0)成立，其中(e)为自然对数的底数，则(a)的取值范围是__________。((-infty，0)cup [cfrac{3}{2e}，+infty))。

分析：由于(x eq 0)，故两边同时除以(x)，二元变一元，变量集中，

得到(3+a(2cdot cfrac{y}{x}-4e)cdot lncfrac{y}{x}=0)，令(cfrac{y}{x}=t>0)，

则(3+a(2t-4e)cdot lnt=0)，即(a(2t-4e)cdot lnt=-3)，

由于(a eq 0)，则上式变形为((2t-4e)cdot lnt=-cfrac{3}{a})，

即存在正数(t)，使得方程((2t-4e)cdot lnt=-cfrac{3}{a})成立，

令(g(t)=(2t-4e)cdot lnt)，

例6若关于(x)的方程((lnx-ax)lnx=x^2)存在三个不等实根，则实数(a)的取值范围是_________。

分析：当(x=1)时，(lnx=0)，原式不成立，故不可能；

当(lnx eq 0)时，(lnx-ax=cfrac{x^2}{lnx})，故(ax=lnx-cfrac{x^2}{lnx})，分离参数得到，

则(a=cfrac{lnx}{x}-cfrac{x}{lnx})，令(h(x)=cfrac{lnx}{x}-cfrac{x}{lnx})，则(y=a)与(y=h(x))的图像有三个交点，

(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x-lnx}{x^2}-cfrac{lnx-xcdot cfrac{1}{x}}{(lnx)^2}=cfrac{1-lnx}{x^2}-cfrac{lnx-1}{(lnx)^2})，(x>0)且(x eq 1)，

当(xin (0，1))时，(h'(x)>0)，故(h(x))单调递增；

当(x>1)时，(h'(x)=cfrac{(1-lnx)(lnx)^2-(lnx-1)cdot x^2}{x^2cdot (lnx)^2})

(=cfrac{((lnx)^2+x^2)cdot (1-lnx)}{x^2cdot (lnx)^2})

当(xin (1，e))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，(xin (e，+infty))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

又(h(e)=cfrac{1}{e}-e)，做出大致图像如下：

要使得则(y=a)与(y=h(x))的图像有三个交点，必须(a<cfrac{1}{e}-e)。

例7定义在(R)上的奇函数(f(x))和定义在({xmid x eq 0})上的偶函数(g(x))分别满足(f(x)=left{egin{array}{l}{2^x-1(0leqslant x<1)}\{frac{1}{x}(xgeqslant 1)}end{array} ight.)，(g(x)=log_2x(x>0))，若存在实数(a)，使得(f(a)=g(b))，则实数(b)的取值范围是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-2，-cfrac{1}{2}]cup [cfrac{1}{2}，2]$ $C.[-cfrac{1}{2}，0)cup(0，cfrac{1}{2}]$ $D.(-infty，-2]cup [2，+infty)$

分析：做出适合题意的图像，由图像可知，函数(f(x))的值域为([-1，1])，

完整的偶函数(g(x))的解析式应该为(g(x)=log_2|x|)，若存在实数(a)，使得(f(a)=g(b))，

则(g(b))必须满足(-1leqslant g(b)leqslant 1)，即(-1leqslant log_2|b|leqslant 1)，

上式可以转化为(left{egin{array}{l}{bgeqslant 0}\{-1leqslant log_2bleqslant 1}end{array} ight.)或者(left{egin{array}{l}{b<0}\{-1leqslant log_2(-b)leqslant 1}end{array} ight.)

解得(cfrac{1}{2}leqslant bleqslant 2)或(-2leqslant bleqslant -cfrac{1}{2}). 故选(B).

例8【四川成都2017级高三第一次诊断性文科】已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(2-x)=f(2+x))，当(xleqslant 2)时，(f(x)=xcdot e^x)，若关于(x)的方程(f(x)=k(x-2)+2)有三个不相等的实根，则实数(k)的取值范围是【】

$A.(-1,0)cup (0,1)$ $B.(-1,0)cup (1,+infty)$ $C.(-e,0)cup (0,e)$ $D.(-e,0)cup (e,+infty)$

分析：选(A)；

例9【四川成都2017级高三第一次诊断性理科】已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(2-x)=f(2+x))，当(xleqslant 2)时，(f(x)=(x-1)cdot e^x-1)，若关于(x)的方程(f(x)-kx+2k-e+1=0)有三个不相等的实根，则实数(k)的取值范围是【】

$A.(-2,0)cup (2,+infty)$ $B.(-2,0)cup (0,2)$ $C.(-e,0)cup (e,+infty)$ $D.(-e,0)cup (0,e)$

分析：选(D)；