(1)若(y=g(x)-m)有零点,求(m)的取值范围;
(2)确定(m)的取值范围,使得(g(x)-f(x)=0)有两个相异实根.
解析:(1) 因为(g(x)=x+cfrac{e^2}{x}ge 2sqrt{e^2}=2e),等号成立的条件是(x=e),
故(g(x))的值域是([2e,+infty)),
因而只需(m≥2e),则(y=g(x)-m)就有零点。
(2) 若(g(x)-f(x)=0)有两个相异实根,即(g(x))与(f(x))的图像有两个不同的交点,
作出(g(x)=x+cfrac{e^2}{x}(x>0))的大致图像如图.
因为(f(x)=-x^2+2ex+m-1=-(x-e)^2+m-1+e^2).
所以其图像的对称轴为(x=e),开口向下,
最大值为(m-1+e^2),故当(m-1+e^2>2e),即(m>-e^2+2e+1)时,
(g(x))与(f(x))有两个交点,即(g(x)-f(x)=0)有两个相异实根,
所以(m)的取值范围是((-e^2+2e+1,+infty)).
分析:显然(x=0)不是方程(f(x)-g(x)=0)的根,故可变形为(k=cfrac{f(x)+1}{x}),
设(phi(x)=cfrac{f(x)+1}{x}=egin{cases}x+cfrac{1}{x}+4,x<0\cfrac{1}{x}+lnx,x>0end{cases}),即(k=phi(x))在(xin(-2,2))有三个实根,
用导数方法研究函数(phi(x))的单调性,做出其图像
由图像可得,要使得函数(y=k)与函数(y=phi(x))有三个交点,则(kin (1,ln2sqrt{e})cup(cfrac{3}{2},2))
分析:由于(x eq 0),故两边同时除以(x),二元变一元,变量集中,
得到(3+a(2cdot cfrac{y}{x}-4e)cdot lncfrac{y}{x}=0),令(cfrac{y}{x}=t>0),
则(3+a(2t-4e)cdot lnt=0),即(a(2t-4e)cdot lnt=-3),
由于(a eq 0),则上式变形为((2t-4e)cdot lnt=-cfrac{3}{a}),
即存在正数(t),使得方程((2t-4e)cdot lnt=-cfrac{3}{a})成立,
令(g(t)=(2t-4e)cdot lnt),
分析:当(x=1)时,(lnx=0),原式不成立,故不可能;
当(lnx eq 0)时,(lnx-ax=cfrac{x^2}{lnx}),故(ax=lnx-cfrac{x^2}{lnx}),分离参数得到,
则(a=cfrac{lnx}{x}-cfrac{x}{lnx}),令(h(x)=cfrac{lnx}{x}-cfrac{x}{lnx}),则(y=a)与(y=h(x))的图像有三个交点,
(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x-lnx}{x^2}-cfrac{lnx-xcdot cfrac{1}{x}}{(lnx)^2}=cfrac{1-lnx}{x^2}-cfrac{lnx-1}{(lnx)^2}),(x>0)且(x eq 1),
当(xin (0,1))时,(h'(x)>0),故(h(x))单调递增;
当(x>1)时,(h'(x)=cfrac{(1-lnx)(lnx)^2-(lnx-1)cdot x^2}{x^2cdot (lnx)^2})
(=cfrac{((lnx)^2+x^2)cdot (1-lnx)}{x^2cdot (lnx)^2})
当(xin (1,e))时,(h'(x)>0),(h(x))单调递增,(xin (e,+infty))时,(h'(x)<0),(h(x))单调递减,
又(h(e)=cfrac{1}{e}-e),做出大致图像如下:
要使得则(y=a)与(y=h(x))的图像有三个交点,必须(a<cfrac{1}{e}-e)。
分析:做出适合题意的图像,由图像可知,函数(f(x))的值域为([-1,1]),
完整的偶函数(g(x))的解析式应该为(g(x)=log_2|x|),若存在实数(a),使得(f(a)=g(b)),
则(g(b))必须满足(-1leqslant g(b)leqslant 1),即(-1leqslant log_2|b|leqslant 1),
上式可以转化为(left{egin{array}{l}{bgeqslant 0}\{-1leqslant log_2bleqslant 1}end{array} ight.)或者(left{egin{array}{l}{b<0}\{-1leqslant log_2(-b)leqslant 1}end{array} ight.)
解得(cfrac{1}{2}leqslant bleqslant 2)或(-2leqslant bleqslant -cfrac{1}{2}). 故选(B).
分析:选(A);
分析:选(D);