分离参数法

前言

在高中数学教学实践中，有一种使用频度比较高的数学方法，叫分离参数法，她和许多数学素材有关联，高三学生大多都耳熟能详，但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚，本博文试着对此做个总结，以廓清我们认识上的误区，帮助我们提高教学，也帮助学生顺利掌握这一方法。

方法定义

已知函数(f(x)=x^2 +ax-2ge 0)在区间([1，5])上恒成立，求参数(a)的取值范围。

[法1]：二次函数法，由于(Delta=a^2+8>0)，故不需要考虑(Delta<0)的情形，

只需要考虑对称轴(x=-cfrac{a}{2})和给定区间([1，5])的相对位置关系

当(-cfrac{a}{2}leq 1)时，即(ageqslant -2)时，函数(f(x))在区间([1,5])单调递增，

所以(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2geqslant 0),解得(ageqslant 1)，又因为(ageqslant -2)，所以得到(ageqslant 1)。

当(-cfrac{a}{2}ge 5)时，即(aleqslant -10) 时，函数(f(x))在区间 ([1,5])单调递减，

所以(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2ge 0),解得(age -cfrac{23}{5})，

又因为(aleq -10)，所以得到(ainvarnothing)。

当(1<-cfrac{a}{2}<5)，即(-10<a<-2)时，(f(x)min=f(-cfrac{a}{2})=cfrac{a^2}{4}-cfrac{a^2}{2}-2≥0)，

得到(ainvarnothing)。（这种情形可以省略）

综上可得(ageqslant 1。)即(a)的取值范围是([1，+infty))

[法2]：两边同时除以参数(a)的系数(x)(由于(xin [1，5])，不等号方向不变)，得到

(ageqslant cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上恒成立, 令(g(x)=cfrac{2}{x}－x)，

则利用函数单调性的结论，可以看到(g(x)=cfrac{2}{x}－x)在区间 ([1，5])上单调递减，

所以(g(x)_{max}=g(1)=1)，所以(ageqslant 1)，即(a)的取值范围是([1，+infty))

相比较而言，法2比法1要简单快捷的多，其使用的策略是将参数和自变量分离开，故这样的方法自然就叫分离参数法。

使用场景

【2017(cdot) 西安模拟】已知函数(f(x)=kx^2-lnx)有两个零点，求参数(k)的取值范围。

$A.k > cfrac{e}{2}$ $B.0< k cfrac{sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k

【法1】：不完全分离参数法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，

再转化为函数(y=kx^2)与函数(y=lnx)的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为((x_0，y_0))，

则有关系式(egin{cases}2kx_0=cfrac{1}{x_0}①\kx_0^2=y_0②\y_0=lnx_0③end{cases})， 从哪些角度列^[1]

有①得到(2kx_0^2=1)，代入②式，解得(y_0=cfrac{1}{2}，x_0=sqrt{e})，即切点为((sqrt{e}，cfrac{1}{2}))，

再代入函数(y=kx^2)，求得此时的(k=cfrac{1}{2e})，

再结合函数(y=kx^2)的系数(k)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

【法2】：完全分离参数法，定义域为((0，+infty))，转化为方程(kx^2=lnx)有两个不同的实数根，

再转化为(k=cfrac{lnx}{x^2})有两个不同的实数根，

再转化为函数(y=k)和函数(y=g(x)=cfrac{lnx}{x^2})的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数(g(x))的单调性，(g'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}cdot x^2-lnxcdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{1-2lnx}{x^3})，

令(1-2lnx>0)，得到(0< x<sqrt{e})，令(1-2lnx<0)，得到(x >sqrt{e})，

即函数(g(x))在区间((0，sqrt{e}])上单调递增，在([sqrt{e}，+infty))上单调递减，

故(g(x)_{max}=g(sqrt{e})=cfrac{1}{2e})，

作出函数(g(x))和函数(y=k)的简图，由图像可得(k)的取值范围是(kin(0，cfrac{1}{2e}))。 故选(D).

• 从上述的解法中我们体会到，如果一个数学题目从数的角度直接来求解，结果很有可能要么不会求解，要么解不出，更或者没有思路；此时若换个角度思考，从形入手分析，将参数或含有参数的代数式(比如(k+1))和自变量分别放置在等号的两端，即(k=f(x))的形式，然后数的问题就转化为形的问题了，从而直观快捷，思路简单明了。

一句话，当我们从形的角度入手分析解题时，接下来使用的方法常常是分离参数法。

常见类型

• ①完全分离参数法：如(lambda f(x)=g(x)Rightarrow lambda=cfrac{g(x)}{f(x)})；

引例，已知函数(f(x)=kx^2-lnx)有两个零点，求参数(k)的取值范围，用常规法分离参数，即得到方程(k=cfrac{lnx}{x^2})有两个不同实根，具体解法链接

【菁优网答题改编】已知函数(f(x)=mlnx+x^2-mx)在((1，+∞))上单调递增，求(m)的取值范围____________．

分析：由题目可知，(f'(x)≥0)在((1，+∞))上恒成立，且(f'(x))不恒为零，

则有(f'(x)=cfrac{m}{x}+2x-m=cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0)在((1，+∞))上恒成立，

即(2x^2-mx+m≥0)在((1，+∞))上恒成立，常规法分离参数得到

(m≤cfrac{2x^2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4)

由于(x>1)，故(2(x-1)+cfrac{2}{x-1}+4≥2sqrt{4}+4=8)，当且仅当(x=2)时取到等号。

故(m≤8)，当(m=8)时，函数不是常函数，也满足题意，故(min (-infty，8])。

• ②倒数法分离参数：如(lambda f(x)=g(x)Rightarrow cfrac{1}{lambda}=cfrac{f(x)}{g(x)})；

引例，方程(kx^2=e^x)，若常规法分离参数得到(k=cfrac{e^x}{x^2})，就没有倒数法分离为(cfrac{1}{k}=cfrac{x^2}{e^x})优越，

原因是函数(y=cfrac{e^x}{x^2})在(x=0)处有断点，而函数(y=cfrac{x^2}{e^x})在(xin R)上是处处连续的，函数相对简单一些。

已知函数(f_1(x)=e^x)，(f_2(x)=ax^2-2ax+b)，设(a>0)，若对任意的(m，n∈[0，1](m eq n))，(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|)恒成立，求(a)的最大值。

分析：不妨设(m>n)，则函数(f_1(x))在区间([0，1])上单调递增，故(f_1(m)-f_1(n)>0)，

又(f_2(x)=a(x-1)^2+b-a)，对称轴是(x=1)，开口向上，

故函数(f_2(x))在区间([0，1])上单调递减，故(f_2(m)-f_2(n)<0)，

这样对任意的(m，nin [0，1](m>n))，(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|)恒成立，

就可以转化为(f_1(m)-f_1(n)>f_2(n)-f_2(m))恒成立，

即(f_1(m)+f_2(m)>f_1(n)+f_2(n))恒成立，

令(h(x)=f_1(x)+f_2(x)=e^x+ax^2-2ax+b)，

则到此的题意相当于已知(m>n)时，(h(m)>h(n))，

故函数(h(x))在区间([0，1])上单调递增，故(h'(x)≥0)在区间([0，1])上恒成立；

即(h'(x)=e^x+2ax-2a≥0)在区间([0，1])上恒成立；

即(2a(1-x)≤e^x)恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，

(cfrac{1}{2a}≥cfrac{1-x}{e^x})在区间([0，1])上恒成立；

再令(p(x)=cfrac{1-x}{e^x})，即需要求(p(x)_{max})，

(p'(x)=cfrac{-1×e^x-(1-x)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{x-2}{e^x})，

容易看出，当(x∈[0，1])时，(p'(x)<0)恒成立，故(p(x))在区间([0，1])上单调递减，

则(p(x)_{max}=p(0)=1)，故(cfrac{1}{2a}≥1)，又(a>0)，

故解得(0<a≤1)。故(a_{max}=1).

• ③讨论法分离参数：如(lambda f(x)ge g(x))；

比如，(lambda(x-1)ge 2lnx)对任意的(xin(0，1])恒成立，接下来分(x=1)和(0<x<1)分类讨论分离参数，具体见博文的后半部分的对应例题。

已知对任意(x>0)且(x eq 1)，不等式(cfrac{x-m}{lnx}>sqrt{x})恒成立，求参数(m)的值。

分析：对任意(x>0)且(x eq 1)，不等式(cfrac{x-m}{lnx}>sqrt{x})恒成立等价于

当(0<x<1)时，(m>x-sqrt{x}lnx①)恒成立，或者当(x>1)时，(m<x-sqrt{x}lnx②)恒成立，

令(h(x)=x-sqrt{x}lnx(x>0，x eq 1))，(h'(x)=frac{2sqrt{x}-lnx-2}{2sqrt{x}})

令(phi(x)=2sqrt{x}-lnx-2)，则(phi'(x)=frac{sqrt{x}-1}{x})；

易知(phi(x))在((0，1))上单调递减，在((1，infty))上单调递增，

所以(phi(x)>phi(1)=0)，即得到(h'(x)>0)，

因此由①式可得，(mge h(1)=1)，由②式得(mleq h(1)=1)

取两种结果的交集，所以(m=1)。

故不等式(cfrac{x-m}{lnx}>sqrt{x})恒成立的充要条件是(m=1)。

• ④整体法分离参数：如(lambda^2+2lambda=f(x))；

【2017湖南郴州二模】若命题“(P：exists x_0in R，2^x_0-2+3aleq a^2)”是假命题，则实数(a)的取值范围是__________。

分析：由题目可知，命题“( eg P：forall xin R，2^x-2> a^2-3a)”是真命题，

即(2^x-2> a^2-3a)对(forall xin R)恒成立，故((2^x-2)_{min}>a^2-3a)，

只需求((2^x-2)_{min})，而(2^x-2>-2)，则有(-2ge a^2-3a)，即(a^2-3a+2leq 0)，

解得(1leq aleq 2)，故实数(a)的取值范围是([1，2])。

已知函数(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(ain R，bin R))，对任意实数(x)都有(f(1-x)=f(1+x))成立，若当(xin[-1，1])时，(f(x)>0)恒成立，则(b)的取值范围是_____________.

分析：先由(f(1-x)=f(1+x))得到，二次函数的对称轴(x=-cfrac{a}{-2}=1)，解得(a=2)，

故题目转化为(-x^2+2x+b^2-b+1>0)对任意(xin [-1,1])恒成立，

用整体法分离参数，得到(b^2-b>x^2-2x-1)对任意(xin[-1,1])恒成立。

令(g(x)=x^2-2x-1，xin[-1,1])，需要求函数(g(x)_{max})；

(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，xin[-1，1])，

故(g(x))在区间([-1，1])上单调递减，则(g(x)_{max}=g(-1)=2)，

故(b^2-b>2)，解得(b<-1)或(b>2)。

法2：还可以利用对称轴与给定区间的关系求解；

• ⑤不完全分离参数法：如(kx^2=lnx)；

比如，已知函数(f(x)=kx^2-lnx)有两个零点，求参数(k)的取值范围，用不完全分离参数法，即得到方程(kx^2=lnx)有两个不同实根，具体解法链接

局限之处

并不是所有的含参问题都适合分离参数，比如(ax^2-a^2x+3<0)在区间([1,2])上恒成立，求(a)的范围，就不能用分离参数的方法，因为你没法将参数和自变量有效的分开，所以此时你可能需要借助二次函数的图像来考虑，而不是一味的使用分离参数法。

一般来说，以下的一些情形都不适合使用分离参数法：

• (1)不能将参数和自变量有效的分离开的；

比如，已知方程(e^{-x}=ln(x+a))在(x>0)时有解，求参数的取值范围；

本题目就不能将参数和自变量有效的分离开的，此时我们就可以考虑用数形结合的思路求解。解法

• (2)如果参数的系数能取到正、负、零三种情形的，

引例，已知函数(f(x)=x^2+ax-2age 0)对(xin [1，5])上恒成立，求参数(a)的取值范围。

如果用分离参数的方法，则先转化为((x-2)age -x^2，xin [1，5])

接下来就转化成了三个恒成立的命题了，不管会不会做，从效率上都已经很不划算了。具体的解法已经隐藏。

• (3)分离参数后，得到的新函数变得复杂无比的；

比如函数(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1}))有唯一的零点，分离参数后，得到(a=cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x))，

你确信你能研究清楚函数(h(x))的性质，并用手工做出函数的图像吗？省省吧，您呐。

• (4)分离参数后，得到的新函数中有(sinx)和(cosx)的，他们都有无穷阶导数，所以求导会一直做下去，一般不会使得函数式变得简单。

比如已知(2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)ge 0)在(xin [0，cfrac{pi}{2}])上恒成立，求参数(a)的取值范围。([1，+infty))

接下来的思路有：

思路一：分离参数，当分离为(age cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x))时，你会发现，求函数(g(x)_{max})很难，所以放弃；

思路二：转化划归，令(sinx-cosx=t=sqrt{2}sin(x-cfrac{pi}{4}))，由于(xin [0，cfrac{pi}{2}])，故(tin [-1，1])

由((sinx-cosx)^2=t^2)，得到(sin2x=1-t^2)，故不等式转化为(at+1-t^2+2a-1ge 0)，

即(t^2-at-2aleq 0)在(tin [-1，1])上恒成立，令(h(t)=t^2-at-2a，tin [-1，1])，

则(h(t)leq 0)等价于(egin{cases}h(-1)=1+a-2aleq 0\h(1)=1-a-2aleq 0 end{cases})，解得(age 1)，

• (5)看题目的选项确定方法

【2019届高三理科数学二轮用题】已知函数(f(x)=mx-cfrac{1-m}{x}+lnx)，要使得函数(f(x)>0)恒成立，则正实数(m)应该满足【】

$A.cfrac{m-1}{m}cdot e^{2m-1} < 1$

$B.cfrac{m-1}{m}cdot e^{1-2m}< 1$

$C.cfrac{m-1}{m}cdot e^{2m-1} >1$

$D.cfrac{m-1}{m}cdot e^{1-2m} >1$

法1：先考虑分离参数法，若能成功分离参数，那么得到的形式必然是(m>g(x))或(m<g(x))的形式，接下来需要求解函数(g(x))的最值，其必然是数字化的，则结果和给定的选项的形式是不一致的，故这个思路做了大致分析后放弃；

法2：由函数(f(x)>0)恒成立，则需要求在((0，+infty))上的函数(f(x)_{min}>0)即可，故考虑用导数方法；

(f'(x)=cfrac{(x+1)[mx+(1-m)]}{x^2})， 故函数在(x=cfrac{m-1}{m})处取到最小值，则要使得函数(f(x)>0)恒成立，只需要(f(cfrac{m-1}{m})>0)即可，

对此化简整理得到，正实数(m)应该满足(cfrac{m-1}{m}cdot e^{2m-1}>1)，故选(C)。

解后反思：本题目的解法有点漏洞，条件中应该使得(m>1)，而不仅仅是(m>0)，否则当(0<mleq 1)时，函数(f(x))在((0，+infty))上单调递增，其最小值的极限为(f(0))，题目就有了问题。

策略延伸

在具体的解题实践中，我们会发现绝大多数的题目可以用分离参数法解决，但是如果简单尝试后发现此法行不通，则需要及时调整解题思路和策略，比如做差构造新函数的思路。

已知函数(f(x)=x^2-ax)，(g(x)=mx+nlnx)，函数(f(x))的图像在点((1，f(1)))处的切线的斜率为(1)，函数(g(x))在(x=2)处取到极小值(2-2ln2)；

(1)求函数(f(x))与(g(x))的解析式；

分析：由题可知(f'(x)=2x-a)，又(f'(1)=2-a=1)，解得(a=1)，即(f(x)=x^2-x)；

又(g'(x)=m+cfrac{n}{x})，由(g'(2)=m+cfrac{n}{2}=0)及(g(2)=2m+nln2=2-2ln2)，解得(m=1，n=-2)，即(g(x)=x-2lnx)；

(2)已知函数(f(x)+g(x)ge x^2-lambda(x-1))对任意的(xin(0，1])恒成立，求实数(lambda)的取值范围。

分析：由于(f(x)+g(x)=x^2-2lnx)，则(x^2-2lnxge x^2-lambda(x-1))对任意的(xin(0，1])恒成立，可以有以下的思路：

法1：带参分析法，先令(h(x)=lambda(x-1)-2lnx)，则问题转化为(h(x)ge 0)对任意的(xin(0，1])恒成立，

(h'(x)=lambda-cfrac{2}{x}=cfrac{lambda x-2}{x})

当(lambdaleq 0)时，(h'(x)<0)，(h(x))在区间((0，1])上单调递减，

(h(x)_{min}=h(1)=0)，即(h(x)ge 0)恒成立；

当(0<lambda leq 2)时，(h'(x)<0)，(h(x))在区间((0，1])上单调递减，

(h(x)_{min}=h(1)=0)，即(h(x)ge 0)恒成立；

当(lambda>2)时，(h'(x)<0)在((0，cfrac{2}{lambda}))上恒成立，(h'(x)>0)在((cfrac{2}{lambda}，1))上恒成立，

即(h(x))在((0，cfrac{2}{lambda}))单调递减，在((cfrac{2}{lambda}，1))上单调递增，

所以(h(cfrac{2}{lambda})<h(1)=0)，故不满足题意，注意(h(1)=0)，即函数(h(x))恒过点((1，0))

综上所述，实数(lambda)的取值范围为((-infty，2])。

法2：讨论法分离参数，先转化为(lambda(x-1)ge 2lnx)对任意的(xin(0，1])恒成立，

当(x=1)时，(lambdacdot 0ge 2ln1=0)，(lambdain R)；

当(xin (0，1))时，分离参数得到(lambda leq cfrac{2lnx}{x-1})；令(h(x)= cfrac{2lnx}{x-1})，

(h'(x)=cfrac{cfrac{2}{x}(x-1)-2lnx}{(x-1)^2}=cfrac{2(1-cfrac{1}{x}-lnx)}{(x-1)^2})；

令(m(x)=1-cfrac{1}{x}-lnx)，则(m'(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1-x}{x^2})，

则(m'(x)>0)，则(m(x))在((0，1))上单调递增，故(m(x)<m(1)=0)，故(h'(x)=cfrac{2m(x)}{(x-1)^2}<0)，

则(h(x))在((0，1))上单调递减，故(h(x)>h(1)=2)(由洛必达法则求得)，即(lambdaleq 2)

综上所述求交集得到，(lambda in(-infty，2])。

法3：不完全分离参数法，由(lambda(x-1)ge 2lnx)对任意的(xin(0，1])恒成立，

做函数(y=lambda(x-1))和函数(y=2lnx)的图像，示意图

设直线(y=lambda(x-1))与曲线(y=2lnx)相切于点((x_0，y_0))，则有(cfrac{2}{x_0}=lambda)，(y_0=2lnx_0)，(y_0=lambda(x_0-1))，

求得切点坐标((1，0))，此时(lambda=2)，由(lambda)的几何意义可知，(lambda)的取值范围是((-infty，2])。

注意事项

• 分离参数法，一般常用于恒成立问题、能成立问题(有解)，或无解问题，或已知函数零点个数命题中的参数取值范围问题，又或是从数的角度不好解决需要从形的角度入手的问题。

• 分离参数时，尽可能的使函数形式简单，这样求导数判断单调性就简单些，而参数形式复杂些或者简单些都无所谓，

【2018年宝鸡市三检理科数学第21题】【已知函数无零点，求参数的取值范围或最值】已知函数(f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a)，(g(x)=cfrac{ex}{e^x})，

(1)若函数(f(x))在区间((0，cfrac{1}{2}))上无零点，求实数(a)的最小值。

【法1】(分离参数，参数形式简单，函数复杂)

碰到这类问题，我们的第一反应往往是分离参数，然后数形结合求解，但是这个方法不见得是很恰当和很灵活的。

先变形为(a(1-x)=2+2lnx-2x)，再分离参数为(a=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，其中(xin (0，cfrac{1}{2}))，

令函数(h(x)=cfrac{2+2lnx-2x}{1-x})，接下来用导数研究单调性，准备做函数的大值图像，

(h'(x)=cfrac{(cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=cfrac{2lnx+cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2})

暂时没法看透(h'(x))的正负值，也无法判断原函数(h(x))的增减性，

故再设(h'(x))的分子函数为(m(x)=2lnx+cfrac{2}{x}-2)，

(m'(x)=cfrac{2}{x}-cfrac{2}{x^2}=cfrac{2x-2}{x^2})，

由于(0< x <cfrac{1}{2})，故(m'(x) <0)，即(m(x))单调递减，

故函数(m(x))的最小值的极限为(m(cfrac{1}{2})=2lncfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0)

编外话：由分子函数(m(x))的最小值的极限为正，说明函数(h'(x))的分子都为正，

故(h'(x)=cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0)，故函数(h(x))在(xin (0，cfrac{1}{2}))上单调递增，

故(h(x))的最大值的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{2+2lncfrac{1}{2}-2 imescfrac{1}{2}}{1-cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2))

要使直线(y=a)与函数(y=h(x)(0< x <cfrac{1}{2}))没有交点，

则(a)的取值范围是(age 2(1-2ln2))，故(a_{min}=2-4ln2)。

【法2】(分离参数，参数形式复杂，函数简单)

将原方程((2-a)x-2(1+lnx)+a=0)，先变形为((2-a)x+(a-2)-2lnx=0)，再变形为(cfrac{2-a}{2}=cfrac{lnx}{x-1})，

令(h(x)=cfrac{lnx}{x-1})，

则(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=cfrac{1-cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2})

令(m(x)=1-cfrac{1}{x}-lnx)，

则(m'(x)=cfrac{1}{x^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1-x}{x^2}>0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

故函数(m(x))在((0，cfrac{1}{2}))单调递增，

故(m(x)_{max})的极限为(m(cfrac{1}{2})=1-2-lncfrac{1}{2}=ln2-1<0)

则函数(h'(x)=cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0)在((0，cfrac{1}{2}))上恒成立，

函数(h(x))在((0，cfrac{1}{2}))上单调递减，

则(h(x)_{min})的极限为(h(cfrac{1}{2})=cfrac{lncfrac{1}{2}}{cfrac{1}{2}-1}=2ln2)

要使得原方程无解，必须满足函数(y=cfrac{2-a}{2})与函数(y=h(x))没有交点，

即(cfrac{2-a}{2}leq 2ln2)，即(age 2-4ln2)

故(a_{min}=2-4ln2)。

【法3】要是不用分离参数的方法，我们还可以这么分析呢？我们这样想，分离参数法是从数的角度来求解的，那么我们可以换个思路，想想能不能从形上入手分析？这时候，最好将原方程(f(x)=0)变形得到两个函数(h(x)=m(x))，其中这两个函数最好是基本初等函数，这样它们的图像我们不用费事就能做出来，同时让参数配备个几何意义那是最好的选择，比如斜率等等，故求解如下：

由于函数(f(x)=0)在(xin (0，cfrac{1}{2}))上没有零点，

则((2-a)x-2(1+lnx)+a=0)在(xin (0，cfrac{1}{2}))上没有零点，

变形为((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <cfrac{1}{2}))

这样左端为函数(h(x)=(2-a)(x-1))，是过定点((1，0))斜率是(2-a)的直线段，

右端为函数(m(x)=2lnx)，是过定点((1，0))的对数型函数的一部分，图像

当直线段过点((1，0))和((cfrac{1}{2}，2lncfrac{1}{2}))时，斜率为(k=cfrac{2-2lncfrac{1}{2}}{1-cfrac{1}{2}}=4ln2)，

由图像可知，要让这两个定义在(xin (0，cfrac{1}{2}))上的函数没有交点，

只需要函数(h(x))的斜率(2-a)小于等于斜率(k=4ln2)即可，

故(2-aleq 4ln2)，即则(a)的取值范围是(age 2(1-2ln2))，

故(a_{min}=2-4ln2)。

解后反思：
1、法1是这类问题的通用解法，但是分离参数后得到的右端的函数，其单调性用导数判断可能很辛苦，这个题目就说明了这一点，而且用到了二阶导数，一般学生根本分不清一阶导数和二阶导数的关系，所以慎重使用。

2、法2比法1虽然都是分离参数法，但是我们感觉法2比法1要简单，其主要原因是法2采用的策略是，让函数简单些，让参数复杂些，这样运算量就小很多了。

3、法3将方程分离成立两个基本初等函数的形式，这样就可以很快很容易的使用形来解决问题了，到此我们也能体会命题人的意图，能将问题简化为我们学习过的，简单模型的学生，是不是其思维具有更好的可塑性。

通过以上七个方面的粗浅探索，相信各位会对分离参数法有更深入的理解，使用会更加得心应手。

对应练习

【2019凤翔中学高二期末考试题】函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+a)有公共点，则(a)的取值范围是【】

$A.(e，+infty)$ $B.(1，+infty)$ $C.[1，+infty)$ $D.(-infty，1)$

提示：选(C)。

法1：分别作出两个函数的图像，由图像可知(ageqslant 1)，故选(C).

法2：转化法，转化为函数(h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx-a)有零点，分析单调性，令(h(x)_{min}leqslant 0)，故选(C).

法3：转化法+分离参数法，转化为(a=x^2-2lnx)有解，即函数(y=a)和函数(y=x^2-2lnx)图像有交点，故选(C).

引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；

函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+b^2-b)有公共点，则(b)的取值范围是____________.

函数(f(x)=x^2)，(g(x)=2lnx+a+cfrac{1}{a})有公共点，则(a)的取值范围是____________.

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1. 角度：两曲线在切点处的斜率相等；点在曲线一上；点在曲线二上； ↩︎