2018年全国卷Ⅰ卷文科数学解析

前言

选择题

例1【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第11题】已知角(alpha)的顶点为坐标原点，始边与(x)轴的非负半轴重合，终边上有两点(A(1，a))，(B(2，b))，且(cos2alpha=cfrac{2}{3})，则(|a-b|=) 【】

$A.cfrac{1}{5}$ $B.cfrac{sqrt{5}}{5}$ $C.cfrac{2sqrt{5}}{5}$ $D.1$

分析：自行做出示意图，由选项可知，可以将角的终边放置在第一象限，这样(b>a)，

从而所求(|a-b|=cfrac{|a-b|}{1}=cfrac{b-a}{1}=tanalpha)，

到此题目转化为已知(cos2alpha=cfrac{2}{3})，求(tanalpha)的值，

即已知(cos2alpha=cfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{cos^2alpha-sin^2alpha}=cfrac{1-tan^2alpha}{1+tan^2alpha}=cfrac{2}{3})，

从而解得(tan^2alpha=cfrac{1}{5})，则(tanalpha=cfrac{sqrt{5}}{5})，故选(B)。

解答题

例2【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第21题】 函数(f(x)=acdot e^x-lnx-1)，

(1)、设(x=2)是(f(x))的极值点，求(a)，并求(f(x))的单调区间。

分析：(f'(x)=ae^x-cfrac{1}{x})，由(f'(2)=0)，解得(a=cfrac{1}{2e^2})；

即(f(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1)；

下面求单调区间，定义域是((0，+infty))，

【法1】：(f'(x)=cfrac{e^x}{2e^2}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{2e^2}cdot cfrac{xe^x-2e^2}{x})

到此，结合题目给定的(f'(2)=0)，猜想验证，写出结果，

当(0< x <2)时，(f'(x )<0)，当(x >2)时，(f'(x) >0)，

故单调递减区间是((0，2))，单调递增区间是((2，+infty))；

【法2】：令(f'(x)>0)，即(cfrac{e^x}{2e^2}>cfrac{1}{x})，即(xe^x-2e^2>0)，观察可得，(x >2)

同理，令(f'(x)<0)，可得(0< x < 2)，

故单调递减区间是((0，2))，单调递增区间是((2，+infty))；

(2)、证明(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge 0)。

【法1】： 已知题目(age cfrac{1}{e})是(f(x)ge 0)的充分条件，转化为求(f(x)ge 0)恒成立时，求解(a)的取值范围，即必要条件。

由题目(f(x)ge 0)可知，(ae^x-lnx-1 ge 0)，即(ae^xge lnx+1)，

分离参数得到(age cfrac{lnx+1}{e^x})恒成立，

令(h(x)= cfrac{lnx+1}{e^x})，只需要求得(h(x)_{max})，

(h'(x)=cfrac{cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=cfrac{cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x})

(=cfrac{1}{e^x}cdot cfrac{1-x-xcdot lnx}{x})

说明：此时有一个很实用的数学常识，当表达式中含有(lnx)时常常用(x=1)来尝试寻找分点。比如此题中(h'(1)=0)

然后分((0，1))和((1，+infty))两段上分别尝试判断其正负，从而得到

当(0< x <1)时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

当(x >1)时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

故(x=1)时，函数(h(x)_{max}=h(1)=cfrac{1}{e})，

故(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge 0)。

小结：1、本题转而求(f'(x)ge 0)的必要条件。

2、注意含有(lnx)或(ln(x+1))的表达式的分点的尝试，其实质是数学中的观察法。

【法2】：分析，当(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x))，只需要说明(g(x)_{min}ge 0)即可。

当(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge cfrac{e^x}{e}-lnx-1)，

设(g(x)=cfrac{e^x}{e}-lnx-1)，则(g'(x)=cfrac{e^x}{e}-cfrac{1}{x}=cfrac{1}{e}cdot cfrac{xe^x-1cdot e^1}{x})，

故用观察法容易得到

(0< x <1)时，(g'(x)<0)，(x > 1)时，(g'(x)>0)，

即(x=1)是函数(g(x))的最小值点，则(x>0)时，(g(x)ge g(1)=0)，

故(age cfrac{1}{e})时，(f(x)ge 0)。

例3【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第22题】【题文】 略

分析：对应图像