各种不等式的解法收集

前言

解不等式，是高中学生的基本必修课。既能培养学生的运算能力，也能提升学生的思维能力，是学生首当其冲要过的关口。对学生的运算能力，思维能力，转化和划归能力要求较高。主要涉及从数的角度解不等式和从形的角度解不等式。

从数的角度解

• 一元一次不等式

(ax+b>0)，当(a>0)时解集为((-cfrac{b}{a}，+infty))；当(a<0)时解集为((-infty，-cfrac{b}{a}))；

• 一元二次不等式

角度一：数字系数的一元二次不等式，

①(x^2<3)的解集为((-sqrt{3}，sqrt{3}))，

使用方法：绝对值法，(|x|<sqrt{3})；二次函数法；穿根法，

②(x^2+2x<0)的解集为((-2，0))

③(-x^2+3x-2>0)，解集为((1，2))

角度二：字母系数的一元二次不等式，

如(x^2-(a+a^2)x+a^3<0.(a eq0))

• 能转化为一元二次不等式，

引例，((x^2-3x+2)cdot(x+1)<0)，解集为((-infty，-1)cup(1，2))；

引例，(2^{x^2-x}<4)，解集为((-1，2))；

如果能理解不等式中的(x)的内涵，(xRightarrow 代数式)，则可以解决诸如这样的不等式，

((2^x)^2-3cdot 2^x+2<0)，解集为((0，1))；

((log_2^{;; x})^2-3cdot log_2^{;;x}+2<0)，解集为((2，4))；

• 高次不等式

如((3x^2-2x-1)cdot(x^2-1)<0)，解集为(xin(-1，-cfrac{1}{3}))；

如((3x^2-2x-1)cdot(x^2-1)leq 0)，解集为(xin[-1，-cfrac{1}{3}]cup{1})；

• 分式不等式，

如(cfrac{3x^2-2x-1}{x^2-1}ge 0)，化简为(cfrac{3x+1}{x+1}ge 0)且(x-1 eq 0)，故解集为((-infty，-1)cup[-cfrac{1}{3}，1)cup(1，+infty))

如(cfrac{2x^2+3x+1}{x-2}>0)，解集为(xin(-1，-cfrac{1}{2})cup(2，+infty))；

(cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)，解集为(xin(-infty，-1)cup(cfrac{1}{2}，+infty))；

• 绝对值不等式

深入理解求解基本类型模板(|x|)(leqslant)(2),则(-2)(leqslant)(xleqslant)(2);
(|x|)(geqslant)(2),则(x)(leqslant)(-2)或(x)(geqslant)(2);(quad)，使用模板求解；

如(|x-1|<1)，等价于(-1<x-1<1)，即(0<x<2)；解集为(xin (0，2))

(2<|x-1|<3)，等价于(2<x-1<3)或者(-3<x-1<-2)，即解集为((3，4)cup(-2，-1))。思路：绝对值的几何意义或者分类讨论去掉绝对值符号。

带有两个绝对值符号的不等式，

如(|x+1|+|x-2|leq 3)，零点分段法，解集为([-1，2])；

带有两个绝对值符号的不等式的求解，如(|x-2|ge |2x+1|)，两边同时平方法，转化为二次不等式求解。

带有两个绝对值符号的不等式的转化，如(|x-2|ge |y-4|(xin [1，2]))

带有双层绝对值符号的不等式的转化，如(|2|x|-1|leq 1)，整体思想，解集为([-1，1])；

• 对数不等式

(log_2^{\,\,x}<1)，解集为((0，2))；

(log_2^{\,\,(x-2)}<log_2^{(2x+1)})， 解集为((2，+infty))；

(log_2^{\,\,(x+1)}<2.5)，解集为((-1，4sqrt{2}-1))；

• 指数不等式

(2^x>3)，即(2^x>2^{log_23})，解集为((log_23，+infty))；

(3^{x^2-3x-1}<(cfrac{1}{3})^{2x-1})，解集为((-1，2))；

(e^x>2)，即(e^x>e^{ln2})，，解集为((ln2，+infty))；

(81 imes3^{2x}ge (cfrac{1}{9})^{x+2})，解集为((-2，+infty))；

(2^{2x+2}+3 imes2^x-1ge 0)，解集为((-2，+infty))；

• 三角不等式

• (2sinx>1)，(3sinx+4cosx<2)，(2cos(2x+cfrac{pi}{3})<1)

• 求函数(y=lg sinx+sqrt{cos2x+frac{1}{2}})的定义域。

• 分段函数不等式

分段函数不等式；

• 抽象函数不等式

抽象函数不等式；

• 无理不等式 求解(2leqslant 2sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}}leqslant 6)

• 排列数组合数不等式

(egin{cases} C_{10}^r2^{10-r} ge C_{10}^{r-1}2^{11-r} \ C_{10}^r2^{10-r}ge C_{10}^{r+1}2^{9-r} end{cases})

• 利用图像解不等式

例1函数(f(x))是周期为4的偶函数，当(xin[0，2])时，(f(x)=x-1)，求不等式(xcdot f(x)>0)在([-1，3])上的解集。^[1]

例2已知二次函数(f(x)>0)解集({xmid x<1或x>3}),求(f(log_2^;x)<0)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，(f(x)<0)的解集为({xmid 1<x<3})，

故由(f(log_2^;x)<0)可得，(1<log_2^;x<3)，即(log_2;2<log_2^;x<log_2;8)，故(2<x<8)；

• 导函数的不等式。

如已知函数的解析式为(f(x)=cfrac{2x+1}{x}cdot e^x)，求解单调区间，

分析：实质就是解不等式(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)和(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0)，

此时可以通过穿根法解分式不等式。

((-infty，-1)和(cfrac{1}{2}，+infty))单调递增；((-1，0)和(0，cfrac{1}{2}))单调递减；

综合转化

指能转化为解不等式的问题

例1已知集合(A={xmid -2leq xleq 7})，集合(B={xmid m+1< x<2m-1 })，若(Bsubseteq A)，则实数(m)的取值范围是什么？

分析：集合(A)为定集，集合(B)为动集，又因为出现了条件(Bsubseteq A)，故需要针对集合(B)分类讨论如下：

1、当集合(B=varnothing)时，则有(m+1ge 2m-1)，解得(mleq 2)；

2、当集合(B eqvarnothing)时，必须满足三个条件，即(egin{cases}&m+1<2m-1\&-2leq m+1\&2m-1leq 7end{cases})，解得(2<mleq 4)；

综上所述：实数(m)的取值范围是({mmid mleq 4})。

例1-1上例中是否存在实数(m)，使得(Asubseteq B)？若存在，求其取值范围，若不存在说明理由。

分析：自行画出草图可知，若存在满足题意的实数(m)，则必满足条件(egin{cases}&m+1< -2\&2m-1> 7end{cases})，解得(min varnothing)。故这样的实数不存在。

例1-2若集合(B={xmid m+1leq xleq 1-2m })，集合(A={xmid -2leq xleq 7})，若(Asubsetneqq B)，求实数(m)的取值范围。

分析：自行画出草图可知，先列出条件(egin{cases}&m+1leq-2\&1-2m ge 7end{cases})，解得(mleq -3)，接下来验证(m=-3)是否满足题意。

当(m=-3)时，(A=[-2，7])，(B=[m+1，1-2m]=[-2，7])，此时(A=B)，不满足题意，舍去，故实数(m)的取值范围为({mmid m<-3})。

例3函数(f(x)=cfrac{ln(x+3)}{sqrt{1-2^x}})的定义域是((-3，0)).

例4若函数(f(x)=-x^2+2ax)与(g(x)=(a+1)^{1-x})在区间([1，2])上都是减函数，求(a)的取值范围；

分析：函数(f(x))开口向下，对称轴是(x=a)，必须满足(aleq 1)；函数(g(x))是指数型函数，必须满足(a+1>0)且(a+1 eq 1)且(a+1>1)，求交集得到(0<aleq 1).

例5已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+4x，&xge0\4x-x^2，&x<0end{cases})，若(f(2-a^2)>f(a))，求实数(a)的取值范围。

分析：自行作图，结合分段函数(f(x))的大致图像可知，(f(x))在(R)上单调递增，故由(f(2-a^2)>f(a))，可直接脱掉符号(f)，得到(2-a^2>a)，解得(-2<a<1).

例6已知函数(f(x)=cfrac{ax+b}{x}cdot e^x，a、bin R，a>0)，

(1).若函数(f(x))在(x=-1)处取到极值(cfrac{1}{e})，试求函数(f(x))的解析式和单调区间；

解析：(f(x)=cfrac{ax+b}{x}cdot e^x)，由(f(-1)=cfrac{1}{e})，

得到(f(-1)=cfrac{-a+b}{-1}cdot e^{-1}=cfrac{1}{e})，即(a-b=1①)

又(f'(x)=(cfrac{ax+b}{x})'cdot e^x+cfrac{ax+b}{x}cdot e^x=cfrac{ax-ax-b}{x^2}cdot e^x+cfrac{ax+b}{x^2}cdot e^xcdot x)

即(f'(x)=e^xcdot cfrac{ax^2+bx-b}{x^2})，由(f'(-1)=0)，得到(a-2b=0②)，

联立①②两式得到，(left{egin{array}{l}{a-b=1}\{a-2b=0}end{array} ight.)，求得(a=2，b=1)；

则函数的解析式为(f(x)=cfrac{2x+1}{x}cdot e^x)；

求解单调区间，实质就是解不等式(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0)，

此时可以通过穿根法解分式不等式。

((-infty，-1)和(cfrac{1}{2}，+infty))单调递增；((-1，0)和(0，cfrac{1}{2}))单调递减；

例5求解(2leqslant 2sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}}leqslant 6)

分析：约分，得到(1leqslant sqrt{3^2-cfrac{|2+a|^2}{2}} leqslant 3)，

两边平方，得到(1leqslant 9-cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9)，

两边同加(-9)，得到(-8=1-9leqslant -cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 9-9=0)，

两边同乘以(-1)，得到(0leqslant cfrac{|2+a|^2}{2}leqslant 8)，

整理为(0leqslant|2+a|^2leqslant 16)，

两边同时开平方，得到(0leqslant|2+a|leqslant 4)，

即(|a+2|leqslant 4)，即(-4leqslant a+2leqslant 4)，

解得，(-6leqslant aleqslant 2)；

延伸阅读

1、穿根法的前世今生

2、三角不等式的解法

3、双连不等式

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1. 法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；
   
   法2：利用积的符号法则求解，原不等式等价于(egin{cases}x>0\f(x)>0end{cases})或(egin{cases}x<0\f(x)<0end{cases})，
   例2解关于(x)的不等式(lnx>1-x)；
   分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。
   比如分别作出两个函数(y=lnx)和(y=1-x)的图像观察求解，如右图所示，解集为((1，+infty))；
   
   同类题目：解关于(x)的不等式(2^x>1-x)；解集为((0，+infty))；：解关于(x)的不等式(log_2^x>cfrac{2}{x})；解集为((2，+infty))； ↩︎