前言
一维数轴
- 借助一维数轴来理解(t)的几何意义
我们知道，一维数轴上的点和实数是一一对应的，如图所示，水平放置的数轴，其上的点(A)、(O)、(B)、(C)、(D)分别代表实数(-2)，(0)，(1)，(2)，(3)；动点对应的实数标记为(t)，那么(t=2)就对应点(C)，(t=-2)就对应点(A)，(t=0)就对应点(O)，(t=1)就对应点(B)，当变量(t)取遍所有的实数，那么动点就能代表数轴上所有的实数。这时候实数(t)就是数轴上的动点的一维坐标。
作用：此时若求线段的长度，则线段(AB=|t_A-t_B|=|-2-1|=3);线段(BD=)(|t_B-t_D|)(=|1-3|)(=2);
究根朔源
如图所示，已知给定直线(l)的倾斜角为( heta， hetain [0，pi))，且经过定点(P_0(x_0,y_0))，在这条直线上有一动点(P(x，y))，那么怎么表示这条直线的参数方程呢？
- 共线向量法引入直线的参数方程
我们这样做，在直线(l)上的点(P_0)的斜右上方向取一点(M)，使得(M(x_0+cos heta,y_0+sin heta))，则直线(l)的其中一条单位方向向量(overrightarrow{P_0M}=vec{e}=(cos heta,sin heta))，由平面向量共线定理可知，存在唯一确定的常数(t)，使得向量(small{overrightarrow{P_{0}P}}=tcdot vec e)，即((x-x_0，y-y_0)=t(cos heta，sin heta))，即(x-x_0=tcdot cos heta)；(y-y_0=tcdot sin heta)，
这样这条直线上的任意一个动点(P)的坐标可以表示为
由于动点的坐标可以刻画这条直线上的所有的点，因此我们称上式为倾斜角为( heta)，经过定点(P_0(x_0,y_0))的直线(l)的参数方程。
如何理解
如图所示，动点(P)对应的参数为(t)，这时(t)可以看成一维数轴[图中的红色直线]上的动点(P)的一维坐标；不过此时数轴上的坐标原点必须是(P_0(x_0，y_0))；那么如何知道该点的二维坐标((x，y))呢？代入参数方程求解即可。
为什么借助直线的参数方程的几何意义求线段长度简单呢？原因是将二维平面内的两点间的距离问题转化为了一维数轴上的两点距离了，自然就简单的多。
答疑解惑
当我们取的是单位方向向量，则由向量共线定理知道，向量(|overrightarrow{P_0 P}|=|vec e||t|=|t|)，故(t)的几何意义是有向线段(P_0P)的数量(或有向线段的位移)；如果当时取的不是单位向量，则(t)不是有向线段(P_0P)的数量。
(t)为0，为正，为负都可以，如上图，(t>0)；(P)和(P_0)重合时，(t=0)；如果我们当时取的单位方向向量和(vec e)相反，则(t<0)。
如已知给定直线的倾斜角为(eta=cfrac{pi}{3})，过定点(A(2，1))，则参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+coscfrac{pi}{3}cdot m} \{y=1+sincfrac{pi}{3}cdot m}end{array} ight.(m为参数)).
-
给定(egin{cases} x=-1+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot n \ y=cfrac{sqrt{2}}{2}cdot n end{cases}(n为参数))，则我们可以知道倾斜角为(cfrac{pi}{4})，过定点((-1，0))；
-
给定(egin{cases} x=-1+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot n \ y=2-cfrac{sqrt{2}}{2}cdot n end{cases}(n为参数))，你都能用什么思路求得定点坐标和倾斜角？
定点的坐标容易求解，是((-1，2))，但是倾斜角的求解需要注意：
必须把参数方程变换为(egin{cases} x=-1-cfrac{sqrt{2}}{2}cdot (-n) \ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot (-n) end{cases} (-n为参数))，
即就是(egin{cases} x=-1-cfrac{sqrt{2}}{2}cdot m \ y=2+cfrac{sqrt{2}}{2}cdot m end{cases} (-n=m，m为参数))，
所以倾斜角是(cfrac{3pi}{4})，为什么要调整？由原来的参数方程直接得到的倾斜角是(cfrac{7pi}{4} otin [0，pi))，需要往回旋转(pi)。
不是的，如给定(egin{cases}x=-1+ n \ y=1- nend{cases}(n为参数))， (n)的几何意义不是有向线段(P_0P)的数量，这种形式只是直线的参数方程的一般形式，需要转换为标准形式。
参数方程的参数一般都是有其对应的几何意义，所以利用其几何意义可以解决一部分问题，这是优越性之一；其二有了参数的介入，使得方程中的未知数之间的的关系变得间接化，这在直线的参数方程中体现的不是很明显，
在圆的参数方程中就体现的非常明显，如(x^2+y^2=1)，引入参数( heta)后，圆上的动点的坐标就是((cos heta，sin heta)),比如在求解圆上的点到直线的最短距离就非常的方便；
再比如，解三角形中，如果已知(a：b：c=3：2：4)，如果我们引入参数(k（k>0）)，则可以方便的单独表示(a=3k，b=2k，c=4k)。
相关阅读：变量集中；求曲线上的动点到直线的距离的最值 ；圆和椭圆的参数方程
对呀，正因为这样，才可以用直线的参数方程来刻画直线呀。而且好处在于将直线上的动点的坐标都表示成了(t)的函数，变量数目变少，非常有利于进一步的计算。
相关储备
-
绝对值的定义，此处涉及去掉参数(t)中的绝对值符号；
-
韦达定理及其变形，涉及运算变形，比如(|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2})；
-
变形运算，比如将直线的参数方程代入圆的普通方程。
-
三角函数运算，比如辅助角公式的变形，比如求(y=2sin(2 heta+cfrac{pi}{3}))的取值范围；
-
积的符号法则，比如(a+b>0)且(ab>0)，则可知(a>0)且(b>0)；(a+b>0)且(ab<0)，则可知(a)、(b)异号；(a+b<0)且(ab>0)，则可知(a<0)且(b<0)。
-
代入运算的小技巧，比如将(x=-1+tcosalpha)，(y=1+tsinalpha)代入方程(x^2+y^2-4x=0)，注意对齐书写
(演草纸上如右操作，省时省力；left{egin{array}{l}{1-2tcosalpha+t^2cos^2alpha}\{1+2tsinalpha+t^2sin^2alpha}\{4-4tcosalpha}end{array} ight.)
整理得到，(t^2+(2sinalpha-6cosalpha)t+6=0)。
典例剖析
⑴求圆的直角坐标方程；
分析：简解，(x^2+(y-sqrt{5})^2=5)
⑵设圆(C)与直线(l)交于点(A、B)，若点(P)的坐标为((3，sqrt{5}))，求(|PA|+|PB|).
法一：将直线和圆的直角坐标方程联立，求得交点(A)、(B)的坐标，使用两点间的坐标公式求解(|PA|+|PB|)；理论上可行，操作性不强，运算难度很大。
法二：利用直线参数方程的参数的几何意义，
将直线的参数方程(left{egin{array}{l}{x=3-frac{sqrt{2}}{2}cdot t}\{y=sqrt{5}+frac{sqrt{2}}{2}cdot t}end{array} ight.(t为参数))，代入圆的直角坐标方程(x^2+(y-sqrt{5})^2=5)，
得到((3-frac{sqrt{2}}{2}cdot t)^2+(sqrt{5}+frac{sqrt{2}}{2}cdot t -sqrt{5})^2=5)整理为(t^2-3sqrt{2}t+4=0)，
由于(Delta >0)，故可设点(A、B)分别对应参数(t_1，t_2)，
则(egin{cases} t_1+ t_2=3sqrt{2} \ t_1 imes t_2=4 end{cases})，由此可以看出(t_1>0，t_2>0)，
故(|PA|=t_1，|PB|=t_2)，所以(|PA|+|PB|=3sqrt{2}).
（1）求圆(C)的极坐标方程。
分析：圆(C)的圆心(C(sqrt{2}，cfrac{pi}{4}))，得(C)的直角坐标为((1,1))，
所以圆(C)的直角坐标方程为((x-1)^2+(y-1)^2=3)，
将( ho cos heta=x)，( ho sin heta=y)代入上式，整理得到，
圆(C)的极坐标方程为( ho^2-2 ho cos heta-2 ho sin heta-1=0)。
（2）若(alpha in[0，cfrac{pi}{4}])，直线(l)的参数方程为(egin{cases} x=2+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases} (t为参数))，直线(l)交圆(C)于(A、B)两点，求弦长(|AB|)的取值范围。
分析：将 (egin{cases} x=2+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases} (t为参数))代入圆(C)的直角坐标方程为((x-1)^2+(y-1)^2=3)，
化简整理，得到(t^2+2(cosalpha+sinalpha)t-1=0)，
则有(Delta=4(cosalpha+sinalpha)^2+4>0)，设(A、B)两点对应的参数分别为(t_1，t_2)，
则由韦达定理可知，(t_1+t_2= -2(cosalpha+sinalpha)，t_1cdot t_2= -1)
所以弦长(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=sqrt{8+4sin2alpha})，
由于(alpha in[0,cfrac{pi}{4}])，所以(sin2alphain[0，1])，(8+4sin2alphain[8，12])，
所以弦长(|AB|in[2sqrt{2}，2sqrt{3}])。
⑴写出直线(l)的参数方程，并将曲线(C)的极坐标方程化为直角坐标方程；
⑵若曲线(C)与直线(l)相交于不同的两点(M、N)，求(|PM|+|PN|)的取值范围.
分析：⑴直线(l)的参数方程为(egin{cases} x=4+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases}(t为参数))，曲线(C)的直角坐标方程为(x^2+y^2=4x)；
⑵课件地址；
分析：将(egin{cases} x=4+cosalphacdot t \ y=2+sinalphacdot t end{cases}(t为参数))代入(C：x^2+y^2=4x)，
得到(t^2+4(sinalpha+cosalpha)t+4=0)，
由(Delta=16(sinalpha+cosalpha)^2-16>0)，得到(sinalphacdot cosalpha>0)，
又(alphain [0，pi))，故压缩范围得到(alphain (0，cfrac{pi}{2}))，
又由韦达定理得到(t_1+t_2=-4(sinalpha+cosalpha))，(t_1cdot t_2=4)
又由(t_1+t_2=-4(sinalpha+cosalpha)<0)，则可知(t_1<0)，(t_2<0)，
则(|PM|+|PN|=|t_1|+|t_2|=-(t_1+t_2)=4(sinalpha+cosalpha)=4sqrt{2}sin(alpha+cfrac{pi}{4}))，
由(alpha in (0，cfrac{pi}{2})) ，得到(alpha+cfrac{pi}{4}in (cfrac{pi}{4}，cfrac{3pi}{4}))，
则(cfrac{sqrt{2}}{2}< sin(alpha+cfrac{pi}{4}) leq 1)，
故$ 4sqrt{2} imes cfrac{sqrt{2}}{2}< 4sqrt{2}cdot sin(alpha+cfrac{pi}{4}) leq 4sqrt{2} imes 1 $，
即就是$|PM|+|PN|in(4，4sqrt{2}] $.
解后反思：和本题目一样，要用到(Delta)中内含的字母信息的题目还有解析几何部分，如引例
失误防范
(1)、 求(odot C)的参数方程；
分析：将( ho^2=x^2+y^2)，(y= hocdot sin heta)，代入(odot C)的极坐标方程( ho^2-4 ho sin heta-12=0)，
得到(odot C)的直角坐标方程为(x^2+y^2-4y-12=0)，即(x^2+(y-2)^2=16=4^2)，
故(odot C)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=4cos heta}\{y=2+4sin heta}end{array} ight.) (( heta为参数， hetain [0，2pi)))。
(2)、求直线(l)被(odot C)截得的弦长。
【法1】几何方法，利用(RtDelta)求解，将直线(l)的参数方程消参，得到其普通方程为(2x-y-3=0)，
则圆心((0，2))到直线的距离为(d=cfrac{|-2-3|}{sqrt{2^2+1^2}}=sqrt{5})，
则直线(l)被(odot C)截得的弦长为(2sqrt{r^2-d^2}=2sqrt{4^2-(sqrt{5})^2}=2sqrt{11})。
【法2】弦长公式，设直线和圆的交点为(A(x_1，y_1)，B(x_2，y_2))，
联立得到方程组，(left{egin{array}{l}{2x-y-3=0}\{x^2+y^2-4y-12=0}end{array} ight.)
消去(y)得到，(x^2+(2x-3)^2-4(2x-3)-12=0)，整理得到，(5x^2-20x+9=0)，
由韦达定理得到，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=cfrac{9}{5})，
由弦长公式得到，(|AB|=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|)(=sqrt{1+2^2}sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2})
(=sqrt{5}sqrt{16-cfrac{36}{5}}=2sqrt{11})。
【法3】利用直线的参数方程求解，图像解释
直线(l)的参数方程为(left{egin{array}{l}{x=2+t}\{y=1+2t}end{array} ight.(t为参数))，
(此时千万要注意，弦长(|AB| eq |t_1-t_2|)，原因是这个参数方程不是标准形式的)
将其做如下的转化，
(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot sqrt{5}t}end{array} ight.(t为参数))，
令(sqrt{5}t=m)，则其参数方程的标准形式为
(left{egin{array}{l}{x=2+cfrac{1}{sqrt{5}}cdot m}\{y=1+cfrac{2}{sqrt{5}}cdot m}end{array} ight.(m为参数))，
[此时参数(m)的几何意义才是动点到静点的距离的数量，千万要注意，即弦长(|AB|=|m_1-m_2|)]
将直线(l)的参数方程的标准形式代入圆的普通方程得到，
((2+cfrac{1}{sqrt{5}}m)^2+(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)^2-4(1+cfrac{2}{sqrt{5}}m)-12=0)
整理为(m^2-11=0)，令直线和圆的两个交点(A，B)分别对应的参数为(m_1，m_2)，
则(m_1+m_2=0)，(m_1m_2=-11)，
此时弦长(|AB|=|m_1-m_2|=sqrt{(m_1+m_2)^2-4m_1m_2}=sqrt{4 imes 11}=2sqrt{11})。
解后反思：
- 非标准形式化为标准形式的思路
(egin{cases}x=x_0+at=x_0+cfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}t \y=y_0+bt=y_0+cfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}cdot sqrt{a^2+b^2}tend{cases}(t为参数))，
再令(sqrt{a^2+b^2}t=m)，则得到(egin{cases}x=x_0+cos heta m\y=y_0+sin heta mend{cases}(m为参数))，这才是标准形式；
此时的参数(m)的几何意义才是定点到动点的有向线段的数量。
延伸考查
-
1、(|AB|=|t_1-t_2|=sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2})；此时与定点所在的位置无关，在曲线内部或外部都有这样的结论；
-
2、当点(P)在圆锥曲线内部时，(|AB|=|PA|+|PB|=|t_1|+|t_2|=|t_1-t_2|)；当点(P)在圆锥曲线外部时，(|AB| eq|PA|+|PB|)；(|AB|=|t_1|+|t_2|=t_1+t_2或-(t_1+t_2))；
-
3、(|PA|cdot |PB|=|t_1|cdot|t_2|=|t_1 cdot t_2|)；
-
4、(AB)的中点(Q)对应的参数为(t=cfrac{t_1+t_2}{2})；若定点(P)恰好是弦(AB)的中点，则有(t_1+t_2=0)
-
5、(cfrac{1}{|PA|}+cfrac{1}{|PB|}=cfrac{|PA|+|PB|}{|PA||PB|})，此时要注意点(P)的位置，她会影响(|PA|+|PB|)的值。
-
6、(|PA|^2+|PB|^2=t_1^2+t_2^2=(t_1+t_2)^2-2t_1t_2)；
-
7、(||PA|-|PB||=||t_1|-|t_2||)；
-
8、(cfrac{|PA|}{|PB|}+cfrac{|PB|}{|PA|}=cfrac{t_1^2+t_2^2}{|t_1t_2|})；
-
9、(|PA|=2|PB|)，求实数(a)的值；
-
10、(cfrac{|PD|}{|PA||PB|}=cfrac{frac{t_1+t_2}{2}}{|t_1||t_2|})，其中点(D)为弦(AB)的中点。