特殊分段函数的图像画法

写在前面

高三数学中有几类比较特殊的分段函数，它们的图像画法很特殊，特做以收集整理。其中需要注意的是，分段函数的分支(f(x)=f(x+k))和(f(x)=f(x)+k)和(f(x)=af(x+k))的图像的做法。

周期性+左右平移

例1【2016凤中模拟】【分段函数，函数的周期性】

已知(f(x))的定义域为(R)，且(f(x) =egin{cases}2^{-x}-1， &xleq 0 \f(x-1) ，&x>0 end{cases})，若方程(f(x)=x+a)有两个不同实根，求(a)的取值范围((-infty，1))。

分析：本题目的解题思想是数形结合，这一点倒不是很难，都能想到在同一个坐标系中做出分段函数(y=f(x))和函数(y=x+a(a是动态的))，

关键是怎么做出分段函数(f(x))的图像？ 我们这样分析，

分段函数的第一段图像我们应该能做出来，利用函数图像变换作图法，就可以了。

先做函数(y=2^x)，再做函数(y=2^{-x})，再做函数(y=2^{-x}-1)，在此基础上截取(xleq 0)，这样第一段函数的图像就做出来了。

第二段函数图像的关系是(f(x)=f(x-1)(x>0)，)意味着我们只需要将刚才做出来的第一段函数图像向右平移一个单位，

平移后只截取((0，1])段，这样就得到了((0，1])上的函数图像，

那么((1，2])上的函数图像怎么做呢？此时只需要以((0，1])段上的函数图像为蓝本，平移一个单位就得到了((1，2])上的函数图像。

再以此类推，分别得到((2，3])、((3，4] 、cdots)上的函数图像，所以分段函数(f(x))的图像如蓝色所示。

函数(y=x+a)的图像如图中的红色所示，注意其斜率(k=1)，(y)截距(a)是变化的，由图能很容易看出来，

要使蓝色的图形和红色的图形有两个交点，只需(a<1)即可。故(a)的取值范围((-infty，1))。

感悟反思：
1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；

2、分段函数的图像做法；

3、分段函数中只包含周期性的图像做法；

4、手工作图验证图像做法：【作图工具：Geogebra】利用周期性得到函数每段上的解析式，然后分段作图。

如(f(x) = egin{cases}2^{-x}-1 &xleq 0\ 2^{1-x}-1 &0< x leq 1 \ 2^{2-x}-1 &1< xleq 2 \ 2^{3-x}-1 &2< xleq 3 \ 2^{4-x}-1 &3< xleq 4end{cases})，

周期性+横轴伸缩

暂无例题。

周期性+纵轴平移

例3【同时涉及平移和周期】

函数(f(x) = egin{cases}x^2 &0leq xleq 1 \ f(x-1)+1 &x>1 end{cases})，求作函数图像。

分析：图像如下，

周期性+纵轴伸缩

例4【2016凤中模拟】

已知函数(f(x)=egin{cases}1-|x+1|，&-2leq xleq 0 \ 2f(x-2) ，&x>0 end{cases})，若方程(f(x)=x+a)在区间([-2，4])内有三个不同实根，求(a)的取值范围((-2<a<0)或(a=1))

思路：在同一个坐标系中做出分段函数(y=f(x)(xin[-2，4]))和函数(y=x+a)((a)是动态的)，

利用数形结合求解。 关键是怎么做出分段函数(f(x))的图像？

先做出(xin[-2，0])上的函数(f(x)=1-|x+1|)的图像， 具体可以这样做，

(|x|longrightarrow|x+1|longrightarrow-|x+1|longrightarrow1-|x+1|)，再截取得到(xin[-2，0])上的图像即可。

难点是第二段(f(x)=2f(x-2)(x>0)，)此时我们可以这样理解，

这样的效果是由(f(x)=f(x-2)(周期变换))和(y=2f(x)(振幅变换))叠加而成的，

因此我们可以将(xin[-2，0])上的函数(f(x)=1-|x+1|)的图像先向右平移2个单位，

然后再将纵坐标扩大2倍， 这样就得到了(xin[0，2])上的函数图像；

再将(xin[0，2])上的函数图像先向右平移2个单位，然后再将纵坐标扩大2倍，

这样就得到了(xin[2，4])上的函数图像；整个(xin[-2，4])上的函数图像如右图的橘黄色部分所示；

函数(y=x+a(a动态))的图像如图中的绿色直线所示，让这条绿色的直线沿(y)轴平行移动，

根据两个图像有三个交点，就可以得到(a)的取值范围((-2<a<0)或(a=1))。

感悟反思：

1、函数与方程的相互等价转化，数形结合思想；

2、分段函数的图像做法；

3、分段函数中包含周期性和振幅变换的图像做法；

例5【2017•衡阳模拟】已知函数(f(x)=egin{cases}1-|x-1|，&x<2\2f(x-2)，&xge 2end{cases})，(g(x)=2^{frac{x-1}{2}})，设方程(f(x)=g(x))的根从小到大依次为(x_1，x_2，cdots，x_n，cdots，nin N*)，则数列({f(x_n)})的前(n)项和为________。

分析：本题目的难点较多，

难点1：作函数(y=f(x))的图像，第一段(y=1-|x-1|，x<2)是后续作图的基础，第二段上满足(f(x)=2f(x-2))，

是函数的周期和振幅同时起作用，意味着区间([2，4])上的图像是把区间([0，2])上的图像先做以平移2个单位，

然后振幅扩大2倍；那么区间([4，6])上的图像是把区间([2，4])上的图像先做以平移2个单位，然后振幅扩大2倍；

以此类推，如图的蓝色部分，再做函数(g(x)=2^{frac{x-1}{2}}=(sqrt{2})^{x-1})，

是把函数(y=(sqrt{2})^x)的图像向右平移1个单位得到，如图中的红色部分。

难点2：解方程，(f(x)=g(x))的解，即两个图像的交点的横坐标，依次为(x_1=1、x_2=3、x_3=5、x_4=7、cdots)

难点3：数列({f(x_n)})的前(n)项依次为函数值(f(1)=1) ，(f(3)=2)，(f(5)=4)，(f(7)=8) ，(cdots)，

刚好组成了首项为(1)，公比为(2)的等比数列，故其通项公式为(f(x_n)=a_n=2^{n-1})，则其前(n)项和为(S_n=cfrac{1-2^n}{1-2}=2^n-1)。

需要转化划归

例6【需要写出分段函数的题目】

已知定义在(R)上的函数(f(x))满足：

①(f(x+2)=2f(x))，

②(xin[-1，1]，f(x)=coscfrac{pi}{2}x)，

记函数(g(x)=f(x)-log_4^{;(x+1)})，则函数(g(x))在区间([0，10])内的零点个数是【10】个。

分析：①“定义在(R)上”说明了定义域，

②“(f(x+2)=2f(x))”所说是周期性和伸缩性的结合，

③“(xin[-1，1]，f(x)=coscfrac{pi}{2}x)”是说在限定区间上的函数解析式，是作图的起始依据。

④“函数(g(x))在区间([0，10])内的零点个数”需要转化为方程(f(x)-log_4{;(x+1)}=0)的根的个数，

再转化为两个函数“(y=f(x))”和“(y=log_4^{;(x+1)})”的图像交点的个数问题。

而做函数“(y=log_4{;(x+1)})”的图像用变换法，做函数“(y=f(x))”的图像就需要用以上刚才解析的各种性质。

至此，本题的思路基本就清晰多了。

【详细解析】

首先需要写出函数(f(x))的分段函数形式的解析式，

(f(x)=left{egin{array}{l}{coscfrac{pi}{2}x ，-1leq xleq 1}\{2coscfrac{pi}{2}(x-2) ，1< x leq 3}\{2^2coscfrac{pi}{2}(x-4) ，3< x leq 5}\{cdots}\{2^5coscfrac{pi}{2}(x-10) ，9< xleq 10}end{array} ight.)

由此得到(f(x) = egin{cases}coscfrac{pi}{2}x &-1leq x leq 1 \ 2f(x-2) &x >1 end{cases})，

重点说明第二个表达形式的来源，由(f(x+2)=2f(x)，xin [-1，1])，则(x+2in [1，3])，

令(x+2=tin [1，3])，则(x=t-2)，故(f(t)=2f(t-2))，即(f(x)=2f(x-2)，xin[1，3])

同理得到(xin [3，5])时，(f(x)=2f(x-2))，

故分段函数的解析式为(f(x) = egin{cases}coscfrac{pi}{2}x &-1leq x leq 1 \ 2f(x-2) &x >1 end{cases})，

故做出图像如下，

由图可知，两个函数“(y=f(x))”和“(y=log_4^{;(x+1)})”的图像交点的个数为10个，

故函数(g(x))在区间([0，10])内的零点个数是【10】个。

典例剖析

例7(模拟)已知函数(f(x)=egin{cases}sinpi x，&xin[0，2]\ cfrac{1}{2}f(x-2)，&xin(2，+infty)end{cases})，试做出其图像。

分析：图像如下，

例8【2019高三理科数学第二次月考第11题】

函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log_2(x+2)， xleq 0}\{f(x-1)，x>0}end{array} ight.)，则方程(f(x)-cfrac{1}{3}x=0)的根的个数为【3】个。

故由图可知，函数(y=f(x))与(y=cfrac{1}{3}x)的图像交点有(3)个。

故方程(f(x)-cfrac{1}{3}x=0)的根的个数为【3】个。

例8【学生问题】

定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x)+f(x+4)=16)，当(xin (0，4])时，(f(x)=x^2-2^x)；则函数(f(x))在([-4，2016])上的零点个数是【B】

$A、504$ $B、505$ $C、1008$ $D、1009$

分析：由(f(x)+f(x+4)=16)，得到(f(x+4)+f(x+8)=16)，两式相减得到，

(f(x+8)=f(x))，即(T=8)；

当(xin (0，4])时，(f(x)=x^2-2^x)已经知道，关键是求得(xin (4，8])上的解析式；

当(0<xleq 4)，(4<x+4leq 8)，

故(f(x+4)=16-f(x))，令(x+4=t)，则(x=t-4)，则(tin (4，8])

故(f(t)=16-f(t-4))，(tin (4，8])

即(f(x)=16-f(x-4))，(xin (4，8])

则周期函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^2-2^x，0<xleq 4}\{16-(x-4)^2-2^{x-4}，4<xleq 8}end{array} ight.)

接下来的难点是做函数(f(x))在一个周期上的图像，

重点是做(y=x^2-2^x，0<xleq 4)的图像。

结合上图可以做出函数(y=x^2-2^x，0<xleq 4)的图像。

再做出(xin (4，8])时的(f(x))的图像。

在区间([0，2016])上，包含(cfrac{2016}{8}=252)个周期，每个周期上的零点有两个，

故有(252 imes2=504)个，但是在([-4，0))上还有一个，

故共有(505)个零点，故选(B)。

例9【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{x^3，xleq a}\{x^2+2x，x>a}end{array} ight.)，若存在实数(b)，使得函数(g(x)=f(x)+b)有两个零点，则(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，-1)cup(-1，0)cup(2，+infty)$

$B.(-infty，-2)cup(-1，0)cup(1，+infty)$

$C.(-infty，0)cup(1，+infty)$

$D.(-infty，-1)cup(2，+infty)$

法1：分析：本题目需要先做出函数的图像，如下图所示，同时要明白参数(a)的作用，

存在实数(b)，使得函数(g(x)=f(x)+b)有两个零点，意味着直线(y=-b)与分段函数(f(x))的两段都有交点，

情形一，两段函数都是单调的，此时需要(a^2+2a<a^3)，解得(a>2)或者(-1<a<0)；

情形二，第二段函数不单调，此时需要(a<-1)；

综上所述，(ain (-infty，-1)cup(-1，0)cup(2，+infty))，故选(A)。

法2：做出分段函数的图像，使用排除法，令(a=cfrac{3}{2})，和(a=-cfrac{1}{2})验证，可以排除(B)，(C)，(D)，故选(A)。

解后反思：①将题目中的条件“存在实数(b)，使得函数(g(x)=f(x)+b)有两个零点”更改为函数(f(x))是单调递增的函数，则(a)的取值范围为({amid a=-1或0leq aleq 2})；

②将题目中的条件“存在实数(b)，使得函数(g(x)=f(x)+b)有两个零点”更改为函数(f(x))不是单调递增的函数，则(a)的取值范围为({amid a<-1或-1<a<0或 a>2})；

例10【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】已知定义在(R)上的偶函数(f(x))满足(f(1-x)=f(1+x))，且当(0leq xleq 1)时，(f(x)=1-x^2)，若直线(y=x+a)与曲线(y=f(x))恰有三个交点，那么实数(a)的取值集合为【】

$A.(k+1，k+cfrac{5}{4})(kin Z)$

$B.(2k+1，2k+cfrac{5}{4})(kin Z)$

$C.(2k-cfrac{5}{4}，2k-1)(kin Z)$

$D.(k-cfrac{5}{4}，k-1)(kin Z)$

分析：待后补充。

例11【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】已知函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log_2x，x>1}\{f(x+3)，xleqslant 1}end{array} ight.)，则(f(-2))=________.

法1：由(f(x)=f(x+3))，则函数有类周期性，(T=3)，故(f(-2)=f(1)=f(4)=log_24=2)。

法2：用函数的图像，提醒注意这类函数的图像的做法；

借助图像可知，(f(-2)=2)。

例12【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数(f(x)=x-int(x))，(xgeqslant 0)，其中(int(x))表示实数(x)的整数部分，如(int(1.4)=1)，(int(2.6)=2)，若函数(g(x)=f(x)-ax+cfrac{1}{2})在区间([1，2))上有且仅有(1)个零点，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-infty，cfrac{3}{4}]$ $B.[cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4}]$ $C.[cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4})$ $D.[cfrac{1}{2}，+infty)$

分析：先将(y=g(x))在区间([1，2))上有且仅有(1)个零点，

转化为(y=f(x)+cfrac{1}{2})与(y=ax)在区间([1，2))上有且仅有(1)个交点，

接下来在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知，

当直线(y=ax)经过点((1，cfrac{1}{2}))和点((2，cfrac{3}{2}))时是两种临界状态，

故要使得(y=f(x)+cfrac{1}{2})与(y=ax)在区间([1，2))上有且仅有(1)个交点，

则必须满足(ain [cfrac{1}{2}，cfrac{3}{4}))，故选(C)。

例13【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知函数(f(x))是定义在(R)上的奇函数，且满足(f(x-2)=f(x+2))，当(xin (0，2))时，(f(x)=ln(x^2-x+1))，则方程(f(x)=0)在区间([0，8])上的解的个数是【】

$A.3$ $B.5$ $C.7$ $D.9$

法1：代数方法求解，当(xin (0，2))时，(f(x)=ln(x^2-x+1))，令(f(x)=0)，则(x^2-x+1=1)，解得(x=1)，

又由于(f(x-2)=f(x+2))，则函数(f(x)=f(x+4))，即(T=4)，又函数(f(x))是定义在(R)上的奇函数，

则在区间(xin [-2，2])，(f(-1)=f(1)=0)，(f(0)=0)，(f(2)=f(-2+4)=f(-2)=-f(2))，则(f(2)=0)，

所以(f(-1)=f(1)=f(0)=f(2)=f(-2)=0)，(f(3)=f(-1)=0)，(f(4)=f(0)=0)，(f(5)=f(1)=0)，

(f(6)=f(2)=0)，(f(7)=f(-1)=0)，(f(8)=f(0)=0)，故方程(f(x)=0)在区间([0，8])上的解有(0)，(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)共(9)个，故选(D).

法2：数形结合求解，需要注意的是，由奇函数得到(f(0)=0)，由周期性和奇偶性得到(f(2)=f(-2)=0)，解方程得到(f(1)=f(-1)=0)，

做出函数(f(x))的图像如下图所示，

由图像可知，方程(f(x)=0)在区间([0，8])上的解有(0)，(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)共(9)个，故选(D).

例12【2019年高考数学试卷理科新课标Ⅱ第12题】设函数(f(x))的定义域为(R)，满足(f(x+1)=2f(x))，且当(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))，若对于任意(xin (-infty，m])，都有(f(x)geqslant -cfrac{8}{9})，则(m)的取值范围是【】

$A.(-infty，cfrac{9}{4}]$ $B.(-infty，cfrac{7}{3}]$ $C.(-infty，cfrac{5}{2}]$ $D.(-infty，cfrac{8}{3}]$

分析：要想弄清楚这类题目的求解，最好先理解题目中给定的条件的目的，

给定条件“(f(x+1)=2f(x))”是为了让你用来求解其他区间上的解析式，以便于求解或作图；

给定条件“(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))”，是我们作图或者求其他区间上的解析式的基础；因此我们需要先求得函数的解析式；

给定条件“(xin (-infty，m])，都有(f(x)geqslant -cfrac{8}{9})”，是让我们做出函数(y=f(x))的图像和(y=-cfrac{8}{9})的图像，从图像上判断，在函数(y=f(x))的哪一段上满足(f(x))的图像一直在直线(y=-cfrac{8}{9})的上方。

解析：令(x+1=t)，则(x=t-1)，即给定条件(f(x+1)=2f(x))变形为(f(t)=2f(t-1))，

即(f(x)=2f(x-1)star)，这是我们下来变换要使用的重要的表达式；

由于(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))①，

则当(xin (1，2])时，(x-1in (0，1])，则由(star)和①式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2))②；

当(xin (2，3])时，(x-1in (1，2])，则由(star)和②式得到，即(f(x)=2f(x-1)=2 imes 2[(x-1)-1][(x-2)-1]=4(x-2)(x-3))③；

以下区间的解析式求解用不上，不过我们还是看看，

当(xin (3，4])时，(x-1in (2，3])，则由(star)和③式得到，此时(f(x)=2f(x-1)=2 imes 4[(x-1)-2][(x-1)-3]=8(x-3)(x-4))④；

同理，我们还可以求得(xin (-1，0])时的解析式；

则当(xin (-1，0])时，(x+1in (0，1])，则由(f(x+1)=2f(x))得到，即(f(x)=cfrac{1}{2}f(x+1)=cfrac{1}{2}x(x+1))⑤；

在坐标系中做出分段函数在区间((-1，3])上的图像以及直线(y=-cfrac{8}{9})，

由图像可知，我们求解方程(4(x-2)(x-3)=-cfrac{8}{9})，解得(x=cfrac{7}{3})或(x=cfrac{8}{3})(结合图像舍去)

即(m=cfrac{7}{3})，故选(B)。

解后反思：

• 1、本题目涉及到的知识点比较多：分段函数，求解析式，换元法，二次函数，数形结合等等；

• 2、对表达式(f(x)=2f(x-1))的理解，它是两种变换，比如平移变换(f(x)=f(x-1))和振幅变换(f(x)=2f(A))的融合，理解了本题目后，以后碰到类似题目，我们就可知这样理解，(f(x-1))的意思是将基础图像(y=x(x-1))向右平移一个单位，再乘以(2)，意思是在原来平移的图像的基础上在(y)轴方向扩大(2)倍，这样做图像就快多了。

• 3、我们还可以不详细求解各区间段上的解析式，而利用图像直接写出解析式。比如向右平移一次后我们知道，函数图像经过点((1，0))和((2，0))，则解析式为(y=a(x-1)(x-2))，且知道最低点为((cfrac{1}{2}，-cfrac{1}{2}))，可知(a=2)，即(xin (1，2])时，(f(x)=2(x-1)(x-2))；

• 4、能不能不做变换，直接利用(f(x+1)=2f(x))来求解析式呢？也可以，不过你必须始终紧紧盯住自变量(x)的取值不放，

比如(xin (0，1])时，(f(x)=x(x-1))，由(f(x+1)=2f(x))，先求得(f(x+1)=2x(x-1))，注意到(x+1in (1，2])，要求解(xin (1，2])上的解析式，还得换元，令(x+1=tin (1，2])，则(x=t-1)，代入(f(x+1)=2x(x-1))，变形得到(f(t)=2(t-1)(t-2))，(tin (1，2])，即(f(x)=2(x-1)(x-2))，(xin (1，2]).

• 5、注意函数的解析式的写法和理解。

形式一：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2(x-1)(x-2)，xin(1，2]}\{4(x-2)(x-3)，xin(2，3]}\{8(x-3)(x-4)，xin(3，4]}\{cdots，cdots}end{array} ight.)

形式二：(f(x)=left{egin{array}{l}{x(x-1)，xin(0，1]}\{2f(x-1)，x>1}end{array} ight.)

例6【2020人大附中高一试题第18题】对于函数(f(x)=left{egin{array}{l}{sinpi x，xin[0,2]}\{cfrac{1}{2}f(x-2)，xin (2,+infty)}end{array} ight.) 现有下列结论：

①任取(x_1,x_2in [2，+infty))，都有(|f(x_1)-f(x_2)|leqslant 1)；

②函数(f(x))在([4,5])上先增后减；

③函数(y=f(x)-ln(x-1))有(3)个零点；

④若关于(x)的方程(f(x)=m(m<0))有且只有两个不同的实根(x_1)，(x_2)，且(x_1+x_2=3)；

其中正确结论的序号为_______________(写出所有正确命题的序号)。

分析：注意此分段函数的图像的做法，第一段(y=sinpi x)，(xin[0,2])是做整个分段函数图像的关键和起始部分；

(f(x)=cfrac{1}{2}f(x-2))，(xin (2,+infty))，表示周期性和纵轴的伸缩性的综合使用，故将第一段向右平移(2)个单位，然后纵坐标压缩(cfrac{1}{2})，

其他部分的函数图像都仿照这个思路完成即可；效果图如下；

故①②③④都是正确的；