以题目为鉴，如何做数学笔记

在数学学习中我们少不了和例题打交道，认真学习例题，研究例题，咀嚼例题的一字一句，从例题中提炼方法、总结思路，对于提高我们自己的数学素养有很大的帮助，不过有些学生还是不太会例题的学习方法，不知道从哪些方面总结提炼，本博文试着做个示范，不妥之处，烦请告知。

例题样例

这是一道对许多学生而言都有难度的数学题目，使用到的方法比较多，有些思路我们不一定能想的到，以此题为例，我们来看看，如果做笔记对提高我们的数学素养更快一些。

已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+c)的图象经过点((-2，0))，且不等式(2x≤f(x)≤cfrac{1}{2}{x}^{2}+2)对一切实数(x)都成立。

（Ⅰ）求函数(f(x))的解析式；

（Ⅱ）若对任意(x∈[-1，1])，不等式(f(x+t)＜f(cfrac{x}{3}))恒成立，求实数(t)的取值范围．

【解析】：（Ⅰ）由题意得：(f(-2)=4a-2b+c=0①)，

因为不等式(2x≤f(x)≤cfrac{1}{2}x^2+2)对一切实数(x)都成立，

令(x=2)，得：(4≤f(2)≤4)，所以(f(2)=4)，即(4a+2b+c=4②)

由①②解得：(b=1，且c=2-4a，)

所以(f(x)=ax^2+x+2-4a)，

由题意得：(f(x)-2x≥0)且(f(x)-cfrac{1}{2}x^2-2≤0)对(x∈R)恒成立，

即(egin{cases}ax^2-x+2-4age 0③\(a-cfrac{1}{2})x^2+x-4aleq 0 ④end{cases})对(xin R)恒成立，

对③而言，由(a>0)且(Delta =1-4a(2-4a)leq 0)，

得到((4a-1)^2leq 0)，所以(a=cfrac{1}{4})，经检验满足④，

故函数(f(x))的解析式为(f(x)=cfrac{1}{4}x^2+x+1)。

（Ⅱ）【法一】：二次函数法，由题意，(f(x+t) < f(cfrac{x}{3})) 对$ x in [-1，1]$恒成立，

可转化为(cfrac{1}{4}(x+t)^2+(x+t)+1<cfrac{1}{4}(cfrac{x}{3})^2+cfrac{x}{3}+1)对(xin [-1，1])恒成立，

整理为(8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t<0)对(xin [-1，1])恒成立，

令(g(x)=8x^2+(18t+24)x+9t^2+36t)，则有(egin{cases}g(-1)<0\g(1)<0end{cases})，

即有(egin{cases}9t^2+18t-16 <0\9t^2+54t+32 < 0end{cases})，

解得(egin{cases}-cfrac{8}{3}< t < cfrac{2}{3}\-cfrac{16}{3}< t <-cfrac{2}{3}end{cases})，

所以(t)的取值范围为(-cfrac{8}{3}< t <-cfrac{2}{3})。

【法二】：利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，

由(1) 得到，(f(x)=cfrac{1}{4}(x+2)^2)，

(f(x+t)< f(cfrac{x}{3}))对(xin [-1，1])恒成立，

可转化为(cfrac{1}{4}(x+t+2)^2 <cfrac{1}{4}(cfrac{x}{3}+2)^2)对(xin [-1，1])恒成立，

得到((x+t+2)^2-(cfrac{x}{3}+2)^2< 0)对(xin [-1，1])恒成立，

平方差公式展开整理，即((cfrac{4x}{3}+t+4)(cfrac{2x}{3}+t)<0)，

即(egin{cases}cfrac{4x}{3}+t+4<0\cfrac{2x}{3}+t>0end{cases})对(xin [-1，1])恒成立，或(egin{cases}cfrac{4x}{3}+t+4>0\cfrac{2x}{3}+t<0end{cases})对(xin [-1，1])恒成立；

即(egin{cases}t<(-cfrac{4x}{3}-4)_{min}\t>(-cfrac{2x}{3})_{max}end{cases})，或(egin{cases}t>(-cfrac{4x}{3}-4)_{max}\t<(-cfrac{2x}{3})_{min}end{cases})，

(egin{cases}t <-cfrac{16}{3}\t >cfrac{2}{3}end{cases})，或(egin{cases}t >-cfrac{8}{3}\t <-cfrac{2}{3}end{cases})，

即(xin varnothing) 或(-cfrac{8}{3}< t <-cfrac{2}{3})，

所以(t)的取值范围为(-cfrac{8}{3}< t <-cfrac{2}{3})。

解后反思

从中应该学到什么，如何记数学笔记

尺有所短，寸有所长。每一个例题都有她的数学营养成分，只是大小不一样而已。从一个例题中能提炼出什么东西，取决于我们需要提炼什么。在这里，学习需求成了一个很关键的问题，当然同时还有个提炼的角度在里面。我们这里主要说的是提炼的角度而不是学习需求。同时在你的心里你得不停的默念：好记性不如烂笔头。

1、整体把握题目的解答过程。

(hspace{2em})通读几遍例题的解答过程，先不管答案为什么这样做，先问自己，我是否看懂了题目。如果没有看懂，就再看几遍，直到看懂为止。

比如本题目求解中的(f(2)=4)，怎么来的，为什么要这样做？不这样做行不行？

2、从思维上提炼，

(hspace{2em})这时候在我们看例题时的思维停顿处暂停，多想想题目为什么这样做，好在哪里，不好在哪里，能不能另外找个思路替代。如果你想不到这个思路，那么这就是你需要总结的地方。

比如本题目，求函数的解析式，往往其实质就是解方程组。所以我们需要得到关于(a、b、c)的三个独立的方程。

3、从题型上总结，

(hspace{2em})看看这个题目是属于什么样的题型，如果这个题型在你的数学知识题型库中没有，那么将她纳入，如果题型有而你没有做出来，那就是方法不完备的问题了，再看下一步。

比如本题目第一问，求函数的解析式；第二问由函数在给定区间上恒成立，求参数的取值范围。

4、从解题方法上总结，

(hspace{2em})检索你已经有的题型和方法，如果二者都有，那就是数学知识的使用还不够灵活，这一点也正是你需要总结的地方；如果题型和方法都没有，那就充实和完善她。

比如本题目，第一问通过解方程组求解；

第二问通过变形整理，分离参数法转化划归为求求函数的最值问题。

5、从数学思想上总结，

(hspace{2em})看看这个题目考察了什么样的数学思想：方程思想，函数思想，转化划归思想，分类讨论思想

6、从举一反三的角度反思，

(hspace{2em})我们从例题中总结的方法能否用于某一类题目中，怎么用，可以和你以前做过的题目联系对比，

7、其他角度的总结：

(hspace{2em})点评：①注意由(4leq f(2)leq 4)得到(f(2)=4)的结论的使用，即夹逼定理，或者理解为用不等关系给出相等关系。

②二次函数(f(x)=ax^2+bx+c(a >0))在区间([m，n])上恒有(f(x)<0)成立，等价于(f(m)<0)且(f(n)<0)。

③乘积的符号法则(acdot b <0)等价于(a >0)且(b <0)或者(a<0)且(b>0)；

④恒成立的模型(A>f(x))恒成立等价于(A >f(x)_{max})，(A< f(x))恒成立等价于(A< f(x)_{min})；

⑤平方差公式的主动灵活运用。