函数的对称性

前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的对称性习题；

常见结论

• 注意：此时只涉及一个函数，是函数自身具有的对称性，而不是两个函数之间的对称；

1、若函数(y=f(x))关于原点((0，0))对称，则(f(-x)=-f(x))或(f(x)+f(-x)=0)，反之亦成立；

2、若函数(y=f(x))关于直线(x=a)对称，则(f(a+x)=f(a-x))，反之亦成立；

3、若函数(y=f(x))满足(f(a+x)=f(b-x))，则其图像关于直线(x=cfrac{a+b}{2})对称，反之亦成立；

4、若函数(y=f(x))图像是关于点(A(a，b))对称，则充要条件是(f(x)+f(2a-x)=2b)。

给出方式

• 1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。

• 2、以奇偶性的形式给出[奇偶性是对称性的特例]；

比如奇函数，(f(-x)=-f(x))或者(f(-x)+f(x)=0Longrightarrow) 对称中心为((0，0))

比如偶函数，(f(-x)=f(x))或者(f(-x)-f(x)=0Longrightarrow) 对称轴为(x=0)

• 3、以奇偶性的拓展形式给出；

比如(f(2+x)+f(-x)=2)，则对称中心为((1，1))；

比如(f(x)=f(4-x))，则对称轴为(x=2)，原因解释

• 4、以周期性+奇偶性的形式给出；

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (ig}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

对称性应用

例1【2016高考理科数学全国卷2第12题】【共用对称中心】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(-x)=2-) (f(x))，若函数(y=cfrac{x+1}{x})与函数(y=f(x))图像的交点为((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_m，y_m))，则(sumlimits_{i=1}^m{(x_i+y_i)})的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由题目可知(f(x)+f(-x)=2)，即函数(f(x))图像关于点((0，1))对称，

而函数(y=cfrac{x+1}{x}=1+cfrac{1}{x})图像也关于点((0，1))对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=0)，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是(cfrac{m}{2})个，他们中的每一对满足(cfrac{y_1+y_m}{2}=1)，

即(y_1+y_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{y_i}=2cdot cfrac{m}{2}=m)，

故(sumlimits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=sumlimits_{i=1}^m{x_i}+sumlimits_{i=1}^m{y_i}=m)，故选B。

例2【2016高考文科数学全国卷2第12题】【共用对称轴】已知函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=) (f(2-x))，若函数(y=|x^2-2x-3|)与函数(y=f(x))图像的交点为((x_1，y_1))，((x_2，y_2))，(cdots)，((x_m，y_m))，则(sumlimits_{i=1}^m{x_i})的值为【】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函数(f(x)(xin R))满足(f(x)=f(2-x))，则函数的对称轴是直线(x=1)，

而函数(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|)的对称轴也是直线(x=1)，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数(m)一定是偶数个，两两配对的个数为(cfrac{m}{2})，比如(A) (B)配对，

则有(cfrac{x_1+x_m}{2}=1)，(x_1+x_m=2)，故(sumlimits_{i=1}^m{x_i}=cfrac{m}{2}cdot 2=m)，故选(B)。

例3【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，即定义域是((0，2))，

又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，则由复合函数的单调性法则可知，

在((0，1))上单增，在((1，2))上单减，故排除(A)，(B)；

若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；

若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；

接下来我们用上述的结论来验证，由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，

(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，即满足(f(x)=f(2-x))，故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选(C)；

再来验证(D)，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，(D)选项不满足。故选(C)。

例14【2019会宁模拟】已知函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，(g(x)=-f(|x|))，若(g(lgx)>g(1))，则(x)的取值范围为【】

$A.(0,10)$ $B.(10,+infty)$ $C.(cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,cfrac{1}{10})cup (10,+infty)$

分析：由于函数(f(x))的定义域为(R)，且在([0,+infty))上单调递增，

故函数(g(x)=-f(|x|))在([0,+infty))上单调递减，且为偶函数，

故(g(lgx)>g(1))即可以变形为(g(|lgx|)>g(1))，则由单调性可知，

(|lgx|<1)，即(-1<lgx<1)，解得(cfrac{1}{10}<x<10)，故选(C)。

例4【2019届高三理科数学三轮模拟题】已知函数(f(x)=e^x+e^{2-x})，则(f(x))【】

$A.$在$R$上递增

$B.$在$R$上递减

$C.$关于点$(1，2e)$对称

$D.$关于直线$x=1$对称

提示：由于函数满足(f(x)=f(2-x))，故函数(f(x))关于直线(x=1)对称，选(D)。

引申：(f(x)=e^x+e^{1-x})；(g(x)=e^x+e^{-x})；

例5【2018高三文科训练题】已知函数(f(x)=lg(4x-x^2))，则【】

$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增

$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称

分析：令内函数(g(x)=4x-x^2>0)，得到定义域((0，4))，又(g(x)=-(x-2)^2+4)，故内函数在((0，2])单减，在([2，4))单增，外函数只有单调递增，故复合函数(f(x))在((0，2])单减，在([2，4))单增，故排除(A)、(B)；

要验证(C)选项，只需要验证(f(x)=f(4-x))即可，这是(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称的充要条件；

而(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x))，故选(C)。

若要验证(D)选项，只需要利用(y=f(x))的图像关于点((2，0))对称的充要条件，即验证(f(x)+f(4-x)=0)即可。自行验证，不满足。

故本题目选(C).