Policy Gradient

策略梯度(Policy Gradient)

在一个包含Actor、Env、Reward Function的强化学习的情景中，Env和Reward Function是你所不能控制的。

Actor的策略$\pi$是一个参数为$\theta$的网络

• 输入：以向量或者矩阵表示的机器观察
• 输出：关联到输出层某个神经元的一个动作
  
  
  策略执行的过程可以表示为一个迹(Trajectory)$\tau =\{s_1,a_1,s_2,a_2,...,s_T,a_T\}$

$$p_{\theta }(\tau )=p(s_1)p_{\theta }(a_1|s_1)p(s_2|s_1,a_1)p_{\theta }(a_2|s_2)...=p(s_1)\prod p_{\theta }(a_t|s_t)p(s_{t+1}|s_t,a_t)$$

引入奖励机制的话：

策略$\pi$的奖励期望：
$${\overline{R}}_{\theta }=\sum R(\tau )p_{\theta }(\tau )=E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}[R(\tau )]$$

策略$\pi$的总奖励：
$$R(\tau )=\sum _{t=1}^T{r}_t$$

策略梯度的计算方法：
$\nabla {\overline{R}}_{\theta }=\sum R(\tau )\nabla p_{\theta }(\tau )=\sum R(\tau )p_{\theta }\frac{\nabla p_{\theta }(\tau )}{p_{\theta }(\tau )}$

由上式，计算策略梯度是，$R(\tau )$不需要必须是可微的，甚至可以是一个黑盒。因为不需要对它进行求导。

借助$\nabla f(x)=f(x)\nabla logf(x)$，可得：

$$\nabla {\overline{R}}_{\theta }=\sum R(\tau )p_{\theta }(\tau )\nabla log{p}_{\theta }(\tau )=E_{\tau \sim p_{\theta }(\tau )}[R(\tau )\nabla log{p}_{\theta }(\tau )]$$$$\approx \frac{1}{N}\sum _{n=1}^{N}R({\tau }^n)\nabla log{p}_{\theta }({\tau }^n)=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N\sum _{t=1}^{T_n}R({\tau }^n)\nabla log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)$$

也就是说，我们是以采样求和的方式来逼近概率分布$p_{\theta }(\tau )$下的期望的。

在给定策略${\pi }_{\theta }$的条件下，我们采用梯度下降类似的策略梯度上升的方法来更新模型，注意每一个迹(Trajectory) 仅使用一次。

可以使用Tensorflow或者pyTorch来实现这个过程：

策略梯度在实现上有一些小技巧：
技巧一：添加基准线


在很多情况下，reward可能都只有正的，没有负的。因为实际计算是使用采样的方法来逼近期望的，所有概率的和应该等于1以保证概率有意义，那么上图中没有被采样到的动作a的概率会下降。

梯度计算时，在奖励函数R的部分添加一个负的偏移量b，这个偏移量b可以简单取整个奖励函数在迹$\tau$上的期望，这样就形成了一个基准线。高于基准线算出来的log概率是正的，低于基准线算出来log概率是负的。这会使得计算梯度的每一项有增有减，并且只有reward高于基准线，才让其action概率增加，从而解决了单纯因为没有采样导致某个action概率大规模下降的问题。

技巧二：采取更恰当的奖励：

以左半部分为例，上图的意思是，计算action $a_1$的reward，原本是只看$(s_a,a_1)$这一个pair，但由于执行了$a_1$导致执行$a_3$时会被扣2分，所以$a_1$的reward应该是+3而不是+5。

所以计算reward的更为恰当的方法是，计算执行该步action后的reward总和。

更近一步还可以添加一个折扣因子$\gamma$：

因为我们计算一个action的reward是采用对当前步及以后步求和方式进行的，所以前面步的action会对后面步的action的reward产生影响。引入$\gamma$是为了使得距离越远的action对当前action的reward影响越小。

最后，b也可以是状态独立的，即每一个state都独有一个b。

还有一种方法是采用基于Actor-Critic模式的优势函数(Advantage function)： $A^{\theta }(s_t,a_t)$来替代$R({\tau }^n)-b$。优势函数衡量了在观察$s_t$下采取动作$a_t$而不是其他动作的好坏程度，由critic给出。